% File:         vorlage.tex
% Author:       Martin Moehle, University of Tuebingen, Germany
% Date:         May 16, 2025
% Description:  Simple LaTeX template to write (pro-)seminar handouts
% Translation:  latex vorlage or pdflatex vorlage
%
\documentclass[12pt]{article}
%
% Most documents do not need many packages.
%
\usepackage{german}          % For German text
\usepackage{amsfonts}        % For more mathematical symbols
%
% Paper format
%
\frenchspacing
\sloppy
\parindent=0pt
\addtolength{\oddsidemargin}{-15mm}
\addtolength{\evensidemargin}{-15mm}
\addtolength{\textwidth}{30mm}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\textheight}{40mm}
%
% Numbering of sections and subsections
%
\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{section}.\arabic{subsection}}
%
% Theorems
%
\newcounter{defnum}
\newtheorem{definition}{Definition}[defnum]
\renewcommand{\thedefinition}{\arabic{definition}}

\newcounter{kornum}
\newtheorem{korollar}{Korollar}[kornum]
\renewcommand{\thekorollar}{\arabic{korollar}}

\newcounter{lemmanum}
\newtheorem{lemma}{Lemma}[lemmanum]
\renewcommand{\thelemma}{\arabic{lemma}}

\newcounter{satznum}
\newtheorem{satz}{Satz}[satznum]
\renewcommand{\thesatz}{\arabic{satz}}
%
% Two environments
%
\newenvironment{beweis}
 {\begin{trivlist}\item[]{\bf Bew.:}}
 {\end{trivlist}}

\newenvironment{bemerkung}
 {\begin{trivlist}\item[]{\bf Bem.:}}
 {\end{trivlist}}
%
% Symbols for sets of numbers
%
\gdef\cz{{\mathbb C}} % complex numbers
\gdef\nz{{\mathbb N}} % natural numbers
\gdef\rz{{\mathbb R}} % real numbers
\gdef\gz{{\mathbb Z}} % integers
%
% Document starts here
%
\begin{document}
   \title{Vortrag 1: Mein Titel}  % Number and title of your presentation
   \author{Hans Mustermann}       % Name of author
   \date{16.05.2025}              % Date of presentation; if the presentation
                                  % is submitted electronically, please use
                                  % the date at which the file was uploaded
                                  % or sent to the person responsible for the
                                  % course.
   \maketitle                     % This command handles everything concerning the title

   Hier beginnt Ihr Handout. Strukturieren Sie Ihr Handout so gut wie
   m"oglich. In LaTeX stehen dazu zum Beispiel Abschnitte (sections,
   subsections usw.) sowie f"ur mathematische Strukturierung die
   theorem-Befehle (Definition, Lemma, Satz, usw.)
   zur Verf"ugung. Es folgt ein Beispiel f"ur einen ersten Abschnitt.
   \section{Der kleine Gau"s}
   Sei $\nz:=\{1,2,\ldots\}$.
   \begin{definition}[arithmetische Folge]
      Eine Folge $(a_k)_{k\in\nz}$ reeller Zahlen hei"st arithmetische Folge,
      falls ein $d\in\rz$ existiert mit $a_k=a_1+(k-1)d$ f"ur alle $k\in\nz$.
   \end{definition}
   Die bekannteste arithmetische Folge ist die mit $a_1:=1$ und $d:=1$, also
   $a_k=k$ f"ur alle $k\in\nz$. F"ur die Partialsummen dieser Folge gilt die
   folgende Gau"ssche Summenformel.
   \begin{satz}[Gau"s] \label{kleinergauss}
      F"ur jedes $n\in\nz$ gilt
      \begin{equation} \label{gaussformel}
         \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}.
      \end{equation}
   \end{satz}
   \begin{beweis}
      Induktion nach $n$. F"ur $n=1$ ist die Aussage offenbar g"ultig, da
      beide Seiten der Gleichung (\ref{gaussformel}) gleich $1$ sind. Der
      Induktionsschritt von $n\in\nz$ nach $n+1$ lautet
      \[
      \sum_{k=1}^{n+1} k
      = \sum_{k=1}^n k + (n+1)
      = \frac{n(n+1)}{2} + n + 1
      = (n+1)\left(\frac{n}{2}+1\right)
      = \frac{(n+1)(n+2)}{2},
      \]
      wobei die zweite Gleichheit nach Induktionsvoraussetzung
      gilt.\hfill$\Box$
   \end{beweis}
   \begin{bemerkung}
      Gau"s bewies Satz \ref{kleinergauss} nicht durch Induktion. Er ging
      stattdessen geschickter wie folgt vor. Summieren der Partialsumme
      $1+2+\cdots+(n-1)+n$ und der r"uckw"arts summierten Partialsumme
      $n+(n-1)+\cdots+2+1$ ergibt $n$ mal den Wert $n+1$, also den Wert
      $n(n+1)$. Die H"alfte davon muss also der Wert der Partialsumme
      $\sum_{k=1}^n k$ sein.
   \end{bemerkung}
   \section{Zweiter Abschnitt}
   Hier steht im Moment nicht mehr viel. F"ur weitere Informationen
   zu arithmetischen Folgen und Reihen und allgemeineren Reihen
   verweisen wir auf das Buch von Grigorieva \cite{grigorieva}.
   \begin{thebibliography}{99}
      \bibitem{grigorieva}
         \textsc{Grigorieva, E.} (2016)
         \emph{Methods of Solving Sequences and Series Problems}.
         Springer, Switzerland.
   \end{thebibliography}
\end{document} 