Diese Vorlesung bildet den Abschluß des viersemestrigen
Analysis-Kurses für Bachelorstudenten im Fach Mathematik.
In der Funktionentheorie werden holomorphe,
d.h. komplex differenzierbare Funktionen betrachtet.
Interessanterweise impliziert einfache komplexe
Differenzierbarkeit in einer offenen Menge,
daß solche Funktionen unendlich oft
differenzierbar und in eine Potenzreihe entwickelbar sind.
Dies wird mit Hilfe der Integraldarstellung
aus der Cauchy-Integralformel hergeleitet.
Weitere grundlegende Eigenschaften
sind die Cauchy Abschätzformeln,
das Maximumprinzip und der Satz von Liouville.
Danach wird eine allgemeine Version des Cauchy Integralsatzes
und der Residuensatz bewiesen.
Abschliessend werden konforme Transformationen betrachtet
und der Riemannsche Abbildungssatz bewiesen.
Zu den gewöhnlichen Differentialgleichungen
wird zuerst Lösbarkeit des Anfangswertproblems
mit dem Satz von Peano bewiesen
und Eindeutigkeitsresultate mit dem Gronwall lemma
abgeleitet.
Danach werden einfache Eigenschaften linearer Systeme
betrachtet werden.
Als wichtigen Abschluß wird die stetige
und differenzierbare Abhängigkeit von Lösungen
von den Anfangsdaten bewiesen.
Die Vorlesung richtet sich an Studenten im 4.Semester.
An Vorkenntnissen sind die Vorlesungen Analysis I - II
und Lineare Algebra I erforderlich.
Ahlfors, L.V.:
Complex Analysis,
McGraw-Hill,
New York, 1979.
Reid, W.T.:
Ordinary differential equations,
Wiley,
New York, 1971.
Rudin, W.T.:
Real and Complex Analysis,
McGraw-Hill,
New York, 1966.
