Fachbereich Mathematik
 

Vorlesung: Riemannsche Flächen, WS 19/20


Aufbauend auf der Funktionentheorie I soll die Analysis komplexer Funktionen einer Variablen auf Definitionsbereiche verallgemeinert werden, die im Gegensatz zur komplexen Zahlenebene eine nicht-triviale Geometrie tragen. Zuerst soll in Verallgemeinerung von Untermannigfaltigkeiten im $R^n$ die abstrakte differenzierbare Mannigfaltigkeit als das grudlegende Objekt der Differentialgeometrie eingeführt werden. Riemannsche Flächen sind in dieser Begriffsbildung eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeiten.

Wir führen hermitesche Metriken auf Riemannsche Flächen ein, mit denen Abstände und Krümmung definiert werden, und zeigen die Äquivalenz von komplexen Strukturen und von Konformklassen von Metriken auf Riemannschen Flächen bis auf Orientierung. Daran schliessen sich die Sätze von Gauß-Bonnet und Riemann-Hurwitz an.

Schliesslich werden mit Einführung der Kobayashi Metrik hyperbolische Riemannsche Flächen ausgezeichnet. Mit einem allgemeinen Krümmungskriterium wird gezeigt, dass die zweifach punktierte komplexe Ebene hyperbolisch ist. Dies ergibt in einfacher Weise den kleinen und grossen Satz von Picard, dass in jeder Umgebung einer wesentlichen Singularität einer holomorphen Funktion, höchstenes ein komplexer Wert ausgelassen werden kann.

Die Vorlesung richtet sich an Studenten ab dem 4.Semester. An Vorkenntnissen sind die Vorlesungen Analysis I - IV und Lineare Algebra I erforderlich.

  1. Ahlfors, L.V., Sario, L.: Riemann surfaces,
    Princeton University Press, 1960.
  2. Farkas, H.M., Kra, I.: Riemann Surfaces,
    Springer Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 1992.
  3. Forster, O.: Lectures on Riemann surfaces,
    Springer Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 1980.
  4. Griffiths, P.A., Harris, J.: Principles of algebraic geometry,
    Wiley-Intersiences, New York, 1978.
  5. Jost, J.: Compact Riemann surfaces,
    Springer Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 2006.
  6. Strebel, K.: Vorlesungen über Riemannsche Flächen,
    Vandenhoeck \& Ruprecht in Göttingen und Zürich, 1980.

Dozenten: Professor Dr. Reiner Schätzle, C 5 A 40
Dr. Sascha Eichmann, C 5 A 32
Vorlesung: Do 14-16 (c.t.)
Beginn: 17.Oktober

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Reiner Schätzle, Universität Tübingen. (e-mail: schaetz at everest.mathematik.uni-tuebingen.de)