Fachbereich Mathematik
 

Vorlesung: Einführung in Partielle Differentialgleichungen, WS 19/20


Partielle Differentialgleichungen nehmen eine zentrale Stellung in der Analysis ein. Sie treten zum einen in der Physik und technischen Anwendungen auf, z.B. die Maxwellschen Gleichungen und die Wärmeleitungsgleichung, aber auch in der Differentialgeometrie, so ist z.B. die mittlere Krümmung ein quasi-linearer, elliptischer Operator zweiter Ordnung bzw. die Gaußkrümmung ein voll nicht-linearer, elliptischer Operator. Existenztheorie von Lösungen und qualitative Untersuchungen von Lösungen sind von grosser Bedeutung bei physikalischen und technischen Anwendungen. Andererseits ergeben sich mit der Theorie partieller Differentialgleichungen analytische Abschätzungen, die zum Beweis rein geometrischer Resultate benötigt werden.

Die Vorlesung behandelt in erster Linie elliptische Gleichungen zweiter Ordnung. Zuerst sollen elementare Eigenschaften wie Mittelwertformel, Maximumprinzip und Darstellung der Lösungen durch die Greensche Funktion erörtert werden. Danach werden die benötigten Hilfsmittel aus der Funktionalanalysis erarbeitet. Insbesondere wird eine Einführung in Sobolevräume gegeben, um eine Vielfalt an Lösungsräumen zu erhalten.

Im Hauptteil wird Existenz von schwachen Lösungen von linearen Gleichungen in der L2-Theorie gezeigt. Danach wenden wir uns Viskositätslösungen zu und beweisen mit der Perron-Methode einen Existenzsatz für Gleichungen, die ein Vergleichsprinzip erfüllen. Schließlich erarbeiten wir ein allgemeines Vergleichsprinzip, um eine möglichst große Vielfalt von Gleichungen lösen zu können.

Die Vorlesung richtet sich an Studenten ab dem 4.Semester. An Vorkenntnissen sind die Vorlesungen Analysis I - IV und Lineare Algebra I erforderlich.

  1. Caffarelli, L.A., Cabre, X.: Fully Nonlinear Elliptic equations,
    American Mathematical Society, 1996.
  2. Crandall, M.G., Ishii, H., Lions, P.-L.: User's Guide to Viscosity Solutions of second Order Partial Differential Equations,
    Bulletin of the American Mathematical Society, Vol. 27, (1992), No. 1, pp. 1--67.
  3. Evans, L.C.: Partial differential equations,
    Providence : American Math. Society, Graduate studies in mathematics 19, 1998.
  4. Gilbarg, D., Trudinger, N.S.: Elliptic Partial Differential Equations of Second Order,
    Springer Verlag, 3.Auflage, Berlin - Heidelberg - New York - Tokyo, 1998.

Dozenten: Professor Dr. Reiner Schätzle, C 5 A 40
Dr. Sascha Eichmann, C 5 A 32
Vorlesung: Di, Do 10-12 (c.t.)
Beginn: 15.Oktober

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Reiner Schätzle, Universität Tübingen. (e-mail: schaetz at everest.mathematik.uni-tuebingen.de)