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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Mathematisches Institut}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{der Universit\"at T\"ubingen}}
    
    \vspace{0.5cm}
    
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Prof. Dr. Frank Loose,}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Pirmin Vollert}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{WS 2014/15}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{23.10.2014}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 2}}
}}
\vspace{0.1cm}
%\begin{document}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen zu 
\glqq Analysis I\grqq}
\end{center}
\vspace{0.1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%

%

{\bf Aufgabe 1:} \vspace{-\topsep}\begin{enumerate}
\item[(a)] Untersuchen Sie folgende Relationen auf $\Z$ auf Reflexivit\"at, Symmetrie und Transitivit\"at:
\begin{align*}
&R_1:=\{(a,b)\in\Z\times \Z:a\neq b\},&R_2:=\{(a,b)\in\Z\times\Z:a\cdot b>0\},\\
&R_3:=\{(a,b)\in\Z\times \Z:a\mid b\},&R_4:=\{(a,b)\in\Z\times \Z:a<b\}.
\end{align*}
\item[(b)] Geben Sie jeweils eine Relation auf der Menge $\{1,2,3\}$ an, welche
\begin{enumerate}
\item[(i)] reflexiv und symmetrisch, aber nicht transitiv ist,
\item[(ii)] reflexiv, aber weder symmetrisch noch transitiv ist.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
{\bf Aufgabe 2:}\vspace{-\topsep}\begin{enumerate}
\item[(a)] Sei $A$ eine Menge und $(R_i)_{i\in I}$ eine Familie von \"Aquivalenzrelationen auf $A$. Zeigen Sie, dass $R:=\bigcap_{i\in I}R_i$ eine Äquivalenzrelation ist.
\item[(b)] Sei $A$ eine Menge und $R\subseteq A\times A$ eine Relation. Zeigen Sie, dass es eine kleinste Äquivalenzrelation auf $A$ gibt, die $R$ enthält, d.h. es gibt eine Äquivalenzrelation $R'$ auf $A$ mit $R\subseteq R'$ und für jede andere Äquivalenzrelation $R''$ auf $A$ mit $R\subseteq R''$ gilt $R'\subseteq R''$.
\item[(c)] Geben Sie die kleinste Äquivalenzrelation $R$ auf $\N$ an, für welche
$\{(1,1),(1,2),(1,3)\}\subseteq R$ gilt.
\end{enumerate}
{\bf Aufgabe 3:}\vspace{-\topsep}
\begin{enumerate}
\item[(a)] Sei $f:M\rightarrow N$ eine Abbildung und $B\subseteq N$. Zeigen Sie
\begin{align*}
f^{-1}\left(\complement B\right)=\complement(f^{-1}(B)).
\end{align*}
\item[(b)] Sei $M$ eine Menge und $(B_i)_{i\in I}$ eine Familie von Teilmengen von $M$. Zeigen Sie
\begin{align*}
\complement\left(\bigcup_{i\in I} B_i\right)=\bigcap_{i\in I}\complement B_i
\qquad\text{und}\qquad
\complement\left(\bigcap_{i\in I} B_i\right)=\bigcup_{i\in I}\complement B_i.\\
\end{align*}
\end{enumerate}
{\bf Aufgabe 4:} Sind $R\subseteq A\times B$ und $S\subseteq B\times C$ Relationen, so definiert man die Komposition $S\circ R\subseteq A\times C$ von $R$ und $S$ durch
\begin{align*}
S\circ R:=\{(a,c)\in A\times C:\text{es existiert ein }b\in B\text{ mit }(a,b)\in R\text{ und }(b,c)\in S\}.
\end{align*}
Zeigen Sie: Sind $R$ und $S$ Abbildungen, so ist auch $S\circ R$ eine Abbildung.\\[1em]
{\bf Abgabe:} Am Donnerstag, dem 30. Oktober 2014, in der Vorlesung.

%
\end{document}
