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\def\oacc#1{\ifmmode\mathaccent23{#1}\else\accent23{#1}\fi}
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%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Mathematisches Institut}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{der Universit\"at T\"ubingen}}
    
    \vspace{0.5cm}
    
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Prof. Dr. Frank Loose,}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Pirmin Vollert}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{WS 2014/15}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{23.10.2014}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 3}}
}}
\vspace{0.1cm}
%\begin{document}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen zu 
\glqq Analysis I\grqq}
\end{center}
\vspace{0.1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%
{\bf Aufgabe 1:}\vspace{-\topsep}
\begin{enumerate}
\item[a)] F\"ur jedes $j\in\{1,2\}$ sei jeweils $M_j$ eine Menge, $\pi_j:M_1\times M_2\rightarrow M_j$ die kanonische Projektion und $f_j:N\rightarrow M_j$ eine Abbildung. Zeigen Sie, dass es genau eine Abbildung $f:N\rightarrow M_1\times M_2$ gibt, so dass $\pi_1\circ f=f_1$ und $\pi_2\circ f=f_2$ gilt.
\item[b)] Sei $\sim$ eine \"Aquivalenzrelation auf einer Menge $M$, $Q:=M/\!\!\!\sim$ die Quotientenmenge, $\pi:M\rightarrow Q$ die kanonische Projektion und $f:M\rightarrow N$ eine Abbildung, so dass
\begin{align*}
\forall\;a,b\in M:a\sim b\Rightarrow f(a)=f(b)
\end{align*}
gilt. Zeigen Sie, dass es genau eine Abbildung $g:Q\rightarrow N$ gibt, so dass $f=g\circ \pi$ gilt.
\end{enumerate}
{\bf Aufgabe 2:}
\begin{enumerate}\vspace{-\topsep}
\item[(a)] Beweisen Sie mit vollst\"andiger Induktion, dass f\"ur alle $n\in \N$
\begin{enumerate}\vspace{-\topsep}
\item[(i)] $1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}$,
\item[(ii)] $1^2+2^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,
\item[(iii)] $3\mid n^3-n$
\end{enumerate}
gilt.
\item[(b)] Finden Sie den Fehler im Beweis des folgenden Satzes:
\begin{addmargin}[.25cm]{.25cm}
{\it \textbf{Satz:} Alle Pferde haben dieselbe Farbe.\\[1em]
\textbf{Beweis:} Da es nur endlich viele Pferde gibt, gen\"ugt es zu zeigen, dass in jeder endlichen Ansammlung von Pferden alle Pferde dieselbe Farbe haben, was per vollst\"andiger Induktion \"uber die Anzahl der Pferde in der Ansammlung bewiesen wird.\\
Induktionsanfang: F\"ur $n=1$ besteht die Ansammlung nur aus einem Pferd und damit haben alle Pferde in dieser Ansammlung dieselbe Farbe.\\
Induktionsvoraussetzung: Sei $n\in\N$ und gelte die Behauptung f\"ur $n$, d.h. in jeder Ansammlung von $n$ Pferden haben alle Pferde dieselbe Farbe.\\
Induktionsschritt: Sei $\{P_1,P_2,\ldots,P_{n+1}\}$ eine Ansammlung von $n+1$ Pferden. Nach Induktionsvoraussetzung haben alle Pferde in $\{P_1,P_2,\ldots, P_{n}\}$ dieselbe Farbe, insbesondere haben $P_1$ und $P_2$ dieselbe Farbe. Nach Induktionsvoraussetzung haben aber auch alle Pferde in $\{P_2,\ldots,P_{n+1}\}$ dieselbe Farbe, also die Farbe von $P_2$ und damit die Farbe von $P_1$. Daraus folgt, dass alle Pferde in $\{P_1,P_2,\ldots,P_{n+1}\}$ dieselbe Farbe haben.}
\end{addmargin}
\end{enumerate}
{\bf Aufgabe 3:} Sei $n\in\N$ und $J$ ein $n$-stelliger Junktor. Zeigen Sie, dass man $J$ durch eine Formel ausd\"ucken kann, welche nur die Junktoren \glqq$\neg$\grqq\;und \glqq$\wedge$\grqq\;enth\"alt. ({\it Hinweis:} Verwenden Sie vollst\"andige Induktion und zeigen Sie, dass
\begin{align*}
J(A_1,A_2,\ldots,A_n)\leftrightarrow\left((A_1\wedge J(A_2\vee \neg A_2,A_2,\ldots A_n))\vee (\neg A_1\wedge J(A_2\wedge\neg A_2,A_2,\ldots A_n))\right)
\end{align*}
eine Tautologie ist.)\\[1em] 
{\bf Aufgabe 4:} Hilberts Hotel besitzt abz\"ahlbar unendlich viele Zimmer, welche durch die na"-t\"urlichen Zahlen $1,2,\ldots$ nummeriert sind und die im Moment alle belegt sind. Kommt nun ein weiterer Gast, so kann dieser untergebracht werden, indem jeder bisherige Gast in das Zimmer mit der n\"achst h\"oheren Nummer wechselt, d.h. der bisherige Gast aus Zimmer 1 zieht in Zimmer 2, der bisherige Gast aus Zimmer 2 zieht in Zimmer 3, usw. So hat jeder der alten G\"aste weiterhin ein Zimmer und der neue Gast kann nun in das frei gewordene Zimmer 1 ziehen. Wie kann man alle G\"aste unterbringen, wenn
\begin{enumerate}\vspace{-\topsep}
\item[(a)] endlich viele neue G\"aste kommen,
\item[(b)] ein Bus mit abz\"ahlbar unendlich vielen neuen G\"asten kommt,
\item[(c)] endlich viele Busse mit jeweils abz\"ahlbar unendlich vielen neuen G\"asten kommen,
\item[(d)] abz\"ahlbar unendlich viele Busse mit jeweils abz\"ahlbar unendlich vielen neuen G\"asten kommen?
\end{enumerate}
{\bf Abgabe:} Am Donnerstag, dem 6. November 2014, in der Vorlesung.

%
\end{document}
