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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Mathematisches Institut}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{der Universit\"at T\"ubingen}}
    
    \vspace{0.5cm}
    
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Prof. Dr. Frank Loose,}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Pirmin Vollert}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{WS 2014/15}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{13.11.2014}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 5}}
}}
\vspace{0.1cm}
%\begin{document}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen zu 
\glqq Analysis I\grqq}
\end{center}
\vspace{0.1cm}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
{\bf Aufgabe 1:} 
\begin{enumerate}\vspace{-\topsep}
\item[(a)] Zeigen Sie, dass die Folgen $((-1)^n)_{n\in\N}$ und $(n^3-n^2)_{n\in\N}$ nicht konvergieren.
\item[(b)] Sei $(a_n)_{n\in\N}$ die Folge mit
\begin{enumerate}
\item[(i)] $a_n=\frac{1}{2^n}$
\item[(ii)] $a_n=\frac{2n^2-n}{n^2+1}$.
\end{enumerate}
Zeigen Sie, dass die Folge $(a_n)_{n\in\N}$ jeweils gegen eine reelle Zahl $a$ konvergiert und geben Sie jeweils f\"ur $\ve=10^{-3}$ ein $n_0\in\N$ an, so dass $|a_n-a|\leq \ve$ f\"ur alle $n\geq n_0$ gilt.
\end{enumerate}
{\bf Aufgabe 2:} Zeigen Sie: Konvergiert eine Folge reeller Zahlen $(x_n)_{n\in\N}$ gegen $a\in\R$ und gegen $b\in\R$, so gilt $a=b$.\\[1em]
{\bf Aufgabe 3:} Seien $(x_n)_{n\in\N}$, $(y_n)_{\in\N}$ und $(z_n)_{n\in\N}$ Folgen reeller Zahlen mit 
\begin{align*}
a:=\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=\lim_{n\rightarrow \infty}z_n
\end{align*}
und $x_n\leq y_n\leq z_n$ f\"ur alle $n\in\N$. Zeigen Sie, dass dann auch $(y_n)_{n\in\N}$ gegen $a$ konvergiert.\\[1em]
{\bf Aufgabe 4:} Die Folge $(a_n)_{n\in\N}$ sei rekursiv durch $a_1:=2$ und $a_{n+1}:=\frac{1}{2}(a_n+\frac{2}{a_n})$ f\"ur jedes $n\in\N$ definiert. Zeigen Sie:\vspace{-\topsep}
\begin{enumerate}
\item[(a)] Falls $(a_n)_{n\in\N}$ konvergiert, so gilt $(\lim_{n\rightarrow \infty}a_n)^2=2$.
\item[(b)] Die Folge $(a_n)_{n\in\N}$ ist beschr\"ankt und monoton fallend, d.h. f\"ur alle $n\in\N$ gilt $a_{n+1}\leq a_n$.
\end{enumerate}
%



{\bf Abgabe:} Am Donnerstag, dem 20. November 2014, in der Vorlesung.

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\end{document}
