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\def\oacc#1{\ifmmode\mathaccent23{#1}\else\accent23{#1}\fi}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Mathematisches Institut}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{der Universit\"at T\"ubingen}}
    
    \vspace{0.5cm}
    
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Prof. Dr. Frank Loose,}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Pirmin Vollert}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{WS 2014/15}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{20.11.2014}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 6}}
}}
\vspace{0.1cm}
%\begin{document}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen zu 
\glqq Analysis I\grqq}
\end{center}
\vspace{0.1cm}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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{\bf Aufgabe 1:}\vspace{-\topsep}
\begin{enumerate}
\item[(a)] Stellen Sie die Dezimalzahlen 13 und 24 im 7-er-System dar und addieren und multiplizieren Sie sie schriftlich.
\item[(b)] Stellen Sie $\frac{1}{7}$ als Dezimalbruch, als dyadischen Bruch und als 12-adischen Bruch dar.
({\it Hinweis:} Im 12-er-System m\"ussen Sie nat\"urlich f\"ur die Dezimalzahlen 10 und 11
zwei neue Ziffern verwenden.)
\end{enumerate}
{\bf Aufgabe 2:} Sei $(a_n)_{n\in\N}$ eine Folge reeller Zahlen und $(s_n)_{n\in\N}=(\sum_{k=1}^na_k)_{n\in\N}$ die zugeh\"orige Reihe. Die Reihe $(s_n)_{n\in\N}$ hei\ss t absolut konvergent, falls $(\sum_{k=1}^n|a_k|)_{n\in\N}$ konvergiert.
\begin{enumerate}\vspace{-\topsep}
\item[(a)] Zeigen Sie, dass jede absolut konvergente Reihe auch konvergent ist. ({\it Hinweis:} Verwenden Sie die Vollst\"andigkeit von $\R$.)
\item[(b)] Seien $(x_n)_{n\in\N}$ und $(y_n)_{n\in\N}$ Folgen reeller Zahlen mit $|x_n|\leq y_n$ f\"ur alle $n\in\N$ und die Reihe $(\sum_{k=1}^ny_k)_{n\in\N}$ konvergiere. Zeigen Sie, dass dann auch die Reihe $(\sum_{k=1}^nx_k)_{n\in\N}$ konvergiert.
\end{enumerate}
{\bf Aufgabe 3:} 
\begin{enumerate}\vspace{-\topsep}
\item[(a)] Bestimmen Sie den Wert folgender Reihen:
\begin{align*}
\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k(k+1)},\quad\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k(k+1)(k+2)},\quad \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{4k^2-1}.
\end{align*}
({\it Hinweis:} Finden Sie $a,b\in\R$, so dass stets $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{a}{k}+\frac{b}{k+1}$ gilt, und stellen Sie die anderen Reihen in \"ahnlicher Weise dar.)
\item[(b)] Zeigen Sie, dass $\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}$ konvergiert.
\item[(c)] Zeigen Sie, dass die Reihe $(s_n)_{n\in\N}$ mit
\begin{align*}
s_n=\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k+1}}{k}
\end{align*}
konvergiert. ({\it Hinweis:} Zeigen Sie zun\"achst, dass die Folgen $(s_{2n})_{n\in\N}$ und $(s_{2n+1})_{n\in\N}$ konvergent sind und dabei gegen denselben Grenzwert konvergieren.)
\end{enumerate}
{\bf Aufgabe 4:} Sei $(K,P)$ ein archimedisch angeordneter K\"orper (man denke an $\R$) und $(I_n)_{n\in\N}$ eine Folge von abgeschlossenen Intervallen in $K$, d.h. f\"ur alle $n\in\N$ existieren $a_n,b_n\in K$ mit $a_n<b_n$ und $[a_n,b_n]=I_n$. Man nennt die Folge $(I_n)_{n\in\N}$ eine Intervallschachtelung in $K$, falls folgende Eigenschaften gelten:
\begin{enumerate}\vspace{-\topsep}
\item[(i)] F\"ur alle $n\in\N$ gilt $I_{n+1}\subseteq I_n$, also $a_n\leq a_{n+1}<b_{n+1}\leq b_n$,
\item[(ii)] $\lim_{n\rightarrow\infty} (b_n-a_n)=0$.
\end{enumerate}\vspace{-\topsep}
Ein Element $x\in K$ hei\ss t Kern von $(I_n)_{n\in\N}$, falls $x\in I_n$ f\"ur alle $n\in\N$.\\[1em]
Zeigen Sie, dass in $K$ genau dann jede Cauchy-Folge konvergiert, wenn jede Intervallschachtelung in $K$ einen Kern besitzt.\\[1em]
({\it Hinweis:} Betrachten Sie f\"ur eine Cauchy-Folge $(x_n)_{n\in\N}$ Intervalle der Form $[x_{n_k}-\frac{1}{2^k},x_{n_k}+\frac{1}{2^k}]$ mit einer geeigneten Folge $(n_k)_{k\in\N}$ und betrachten Sie f\"ur die andere Richtung die Folge der Randpunkte $(a_n)_{n\in\N}$.)\\[1em]
{\bf Abgabe:} Am Donnerstag, dem 27. November 2014, in der Vorlesung.

%
\end{document}
