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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Mathematisches Institut}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{der Universit\"at T\"ubingen}}
    
    \vspace{0.5cm}
    
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Prof. Dr. Frank Loose,}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Pirmin Vollert}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{WS 2014/15}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{27.11.2014}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 7}}
}}
\vspace{0.1cm}
%\begin{document}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen zu 
\glqq Analysis I\grqq}
\end{center}
\vspace{0.1cm}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
{\bf Aufgabe 1:} Sei $(a_n)_{n\in\N}$ eine Folge reeller Zahlen.
\begin{enumerate}\vspace{-\topsep}
\item[(a)] F\"ur $a\geq 0$ und $n\in\N$ sei $\sqrt[n]{a}\in\R$ die eindeutige nicht-negative Zahl mit $(\!\sqrt[n]{a})^n=a$.\\[1em]
Es existiere ein $n_0\in\N$ und eine reelle Zahl $q\in\R$ mit $0<q<1$ derart, dass
\begin{align*}
\sqrt[n]{|a_n|}\leq q
\end{align*}
f\"ur alle $n\geq n_0$ gilt. Zeigen Sie, dass $\sum_{k=1}^\infty a_k$ absolut konvergiert.
\item[(b)] Es existiere ein $n_0\in\N$ und eine reelle Zahl $q\in\R$ mit $0<q<1$ derart, dass $a_n\neq 0$ und
\begin{align*}
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leq q
\end{align*}
f\"ur alle $n\geq n_0$ gilt. Zeigen Sie, dass $\sum_{k=1}^\infty a_k$ absolut konvergiert.
\item[(c)] Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz:
\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty 2^{-n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n,\quad\sum_{n=1}^\infty\frac{n^n}{n!},\quad\sum_{n=1}^\infty\frac{3^n}{n!},\quad\sum_{n=1}^\infty\left(3+(-1)^n\right)^{-n}.
\end{align*}
\end{enumerate}
{\bf Aufgabe 2:} Sei $I\subseteq \R$ ein Intervall, $f:I\rightarrow\R$ und $a\in I$. Zeigen Sie die \"Aquivalenz folgender Aussagen:
\begin{enumerate}\vspace{-\topsep}
\item[(i)] Die Funktion $f$ ist stetig in $a$.
\item[(ii)] F\"ur jede Folge $(x_n)_{n\in\N}$ in $I$ mit $\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=a$ gilt $\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=f(a)$.
\end{enumerate}
{\bf Aufgabe 3:} 
\begin{enumerate}\vspace{-\topsep}
\item[(a)]Sei $(a_n)_{n\in\N}$ eine Folge reeller Zahlen. Zeigen Sie, dass $a\in\R$ genau dann ein H\"au"-fungs"-punkt von
$(a_n)_{n\in\N}$ ist, wenn eine Teilfolge $(a_{n_k})_{k\in\N}$ mit $\lim_{k\rightarrow\infty}a_{n_k}=a$ existiert.
\item[(b)] Sei $f:\N\rightarrow\Q$ eine Abz\"ahlung der rationalen Zahlen. Zeigen Sie, dass jede reelle Zahl ein H\"aufungspunkt der Folge $(f(n))_{n\in\N}$ ist.
\end{enumerate}
{\bf Aufgabe 4:} Eine Folge reeller Zahlen $(a_n)_{n\in\N}$ hei\ss t streng monoton steigend (bzw. streng monoton fallend), falls $a_{n+1}>a_n$ (bzw. $a_{n+1}<a_n$) f\"ur alle $n\in\N$ gilt.\\[1em]
Betrachte die Folgen $(x_n)_{n\in\N}=((1+\frac1n)^n)_{n\in\N}$ und $(y_n)_{n\in\N}=((1+\frac1n)^{n+1})_{n\in\N}$.
\begin{enumerate}\vspace{-\topsep}
\item[(a)] Zeigen Sie, dass $(x_n)_{n\in\N}$ streng monoton steigend und $(y_n)_{n\in\N}$ streng monoton fallend ist. ({\it Hinweis:} Zeigen Sie mit der Bernoullischen Ungleichung, dass stets $\frac{x_{n+1}}{x_n}>1$ gilt.)
\item[(b)] Zeigen Sie, dass $(x_n)_{n\in\N}$ und $(y_n)_{n\in\N}$ konvergieren und au\ss erdem denselben Grenzwert haben.
\item[(c)] Zeigen Sie, dass $(x_n)_{n\in\N}$ gegen $e:=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}$ konvergiert. ({\it Hinweis:} Verwenden Sie den binomischen Lehrsatz und zeigen Sie, dass f\"ur alle $m\in\N$ und alle $n\geq m$ 
\begin{align*}
x_n\geq\sum_{k=0}^m\left(\frac{1}{k!}\prod_{j=0}^{k-1}(1-\frac{j}{n})\right)
\end{align*}
gilt.)
\end{enumerate}
{\bf Abgabe:} Am Donnerstag, dem 4. Dezember 2014, in der Vorlesung.

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\end{document}
