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\def\oacc#1{\ifmmode\mathaccent23{#1}\else\accent23{#1}\fi}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Mathematisches Institut}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{der Universit\"at T\"ubingen}}
    
    \vspace{0.5cm}
    
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Prof. Dr. Frank Loose,}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Pirmin Vollert}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{WS 2014/15}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{04.12.2014}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 8}}
}}
\vspace{0.1cm}
%\begin{document}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen zu 
\glqq Analysis I\grqq}
\end{center}
\vspace{0.1cm}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
{\bf Aufgabe 1:} (2 Punkte) Sei $f:[a,b]\rightarrow[a,b]$ eine stetige Funktion. Zeigen Sie, dass $f$ einen Fixpunkt besitzt, d.h. es existiert ein $\xi\in[a,b]$ mit $f(\xi)=\xi$. ({\it Hinweis:} Betrachten Sie die Funktion $h$ mit $h(x)=f(x)-x$.)\\[1em]
{\bf Aufgabe 2:} (2 Punkte) Sei $I\subseteq\R$ ein Intervall und $f:I\rightarrow\R$ eine Funktion. 
\begin{enumerate}\vspace{-\topsep}
\item[(i)] Die Funktion $f$ hei\ss t gleichm\"a\ss ig stetig, falls
\begin{align*}
\forall\;\ve>0:\exists\;\delta>0:\forall\;x,y\in I:|x-y|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(y)|<\ve
\end{align*}
gilt.
\item[(ii)] Die Funktion $f$ hei\ss t Lipschitz-stetig, falls eine Konstante $L\in\R$ existiert, so dass
\begin{align*}
|f(x)-f(y)|\leq L\cdot|x-y|
\end{align*}
f\"ur alle $x,y\in I$ gilt.
\end{enumerate}
Zeigen Sie, dass jede Lipschitz-stetige Funktion gleichm\"a\ss ig stetig ist.\\[1em]
{\bf Aufgabe 3:}  Seien $A,B\subseteq\R$ nicht-leere und nach oben beschr\"ankte Mengen.
\begin{enumerate}\vspace{-\topsep}
\item[(a)] (2 Punkte) Sei $M\in\R$ eine obere Schranke von $A$. Zeigen Sie, dass $M=\sup A$ genau dann gilt, wenn f\"ur alle $\ve>0$ ein $a\in A$ mit $M-\ve<a$ existiert.\\[1em]
Formulieren Sie zudem eine entsprechende Aussage f\"ur das Infimum einer nicht-leeren und nach unten beschr\"ankten Teilmenge von $\R$.
\item[(b)] (1 Punkt) Zeigen Sie, dass eine Folge $(x_n)_{n\in\N}$ in $A$ mit $\lim_{n\rightarrow\infty} x_n=\sup A$ existiert.
\item[(c)] (1 Punkt) Definiere die Menge $A+B\subseteq\R$ durch
\begin{align*}
A+B:=\{a+b:a\in A,b\in B\}.
\end{align*}
Zeigen Sie, dass $\sup(A+B)=\sup A+\sup B$ gilt.
\item[(d)] (1 Punkt) Sei $X\subseteq\R$ eine beliebige Teilmenge. F\"ur eine Funktion $f:X\rightarrow\R$ definiert man
\begin{align*}
\sup f:=\sup\{f(x):x\in X\}.
\end{align*}
Zeigen Sie anhand eines Beispiels, dass f\"ur zwei Funktionen $f,g:X\rightarrow \R$ die Gleichung $\sup(f+g)=\sup f+\sup g$ im Allgemeinen nicht gilt.
\end{enumerate}
{\bf Aufgabe 4:} (jeweils 2 Punkte) 
\begin{enumerate}\vspace{-\topsep}
\item[(a)] Sei $x_0\in\R$, $\ve>0$ und $f:\R\rightarrow\R:x\mapsto x^2$. Zeigen Sie die Stetigkeit von $f$ in $x_0$, indem Sie ein $\delta>0$ angeben, so dass 
\begin{align*}
\forall\;x\in \R:|x-x_0|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\ve
\end{align*}
gilt.
\item[(b)] Zeigen Sie, dass die Funktion $g:[0,\infty)\rightarrow\R:x\mapsto\sqrt{x}$ gleichm\"a\ss ig stetig ist.
\end{enumerate}
{\bf Aufgabe 5:} (3 Punkte) Bestimmen Sie alle Stellen, an welchen die Funktion
\begin{align*}
f:\R\rightarrow\R:x\mapsto\begin{cases}\frac{1}{q}&\text{falls teilerfremde }p\in\Z\setminus\{0\}\text{ und }q\in\N\text{ mit }x=\frac{p}{q}\text{ existieren}\\
1&\text{falls }x=0\\
0&\text{falls }x\in\R\setminus\Q
\end{cases}
\end{align*}
stetig ist. ({\it Hinweis:} Zeigen Sie, dass f\"ur $x\in\R$ und $m\in\N$ die Menge 
\begin{align*}
(x-1,x+1)\cap\left\{\frac{p}{q}:p\in\Z,q\in\N,\;q\leq m\right\}
\end{align*}
endlich ist.)\\[2em]
{\bf Abgabe:} Am Donnerstag, dem 11. Dezember 2014, in der Vorlesung.

%
\end{document}
