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\def\oacc#1{\ifmmode\mathaccent23{#1}\else\accent23{#1}\fi}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Mathematisches Institut}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{der Universit\"at T\"ubingen}}
    
    \vspace{0.5cm}
    
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Prof. Dr. Frank Loose,}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Pirmin Vollert}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{WS 2014/15}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{11.12.2014}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 9}}
}}
\vspace{0.1cm}
%\begin{document}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen zu 
\glqq Analysis I\grqq}
\end{center}
\vspace{0.1cm}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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{\bf Aufgabe 1:} (3 Punkte) Sei $f:[a,b]\rightarrow\R$ eine beschr\"ankte Funktion. Zeigen Sie, dass $f$ genau dann integrierbar ist, wenn es zu jedem $\ve>0$ Treppenfunktionen $\varphi,\psi:[a,b]\rightarrow\R$ mit $\varphi\leq f\leq \psi$ und 
\begin{align*}
\int_a^b(\psi-\varphi)\;\text{d}x<\ve
\end{align*}
gibt.\\[1em]
{\bf Aufgabe 2:} (3 Punkte) Sei $f:[a,b]\rightarrow\R$ eine Funktion und definiere den Positivanteil $f_+$ von $f$ durch
\begin{align*}
f_+:[a,b]\rightarrow[0,\infty):x\mapsto\begin{cases}f(x)&\text{falls }f(x)\geq 0,\\
0&\text{sonst.}\end{cases}
\end{align*}
Zeigen Sie: Ist $f$ integrierbar, so ist auch $f_+$ integrierbar. ({\it Hinweis:} Verwenden Sie Aufgabe 1.)\\[1em]
{\bf Aufgabe 3:} (3 Punkte) Definiere die Funktion $f:[0,1]\rightarrow\R$ durch
\begin{align*}
f:[0,1]\rightarrow\R:x\mapsto\begin{cases}1&\text{falls }x=\frac{1}{n}\text{ f\"ur ein }n\in\N,\\
0&\text{sonst.}\end{cases}
\end{align*}
Zeigen Sie, dass $f$ integrierbar ist, und berechnen Sie $\int_0^1f\;\text{d}x$.\\[1em]
{\bf Aufgabe 4:} (3 Punkte) Sei $(a,b)\subseteq \R$ ein offenes Intervall und $f:(a,b)\rightarrow\R$ eine stetige Funktion. Eine Funktion $g:[a,b]\rightarrow\R$ hei\ss t stetige Fortsetzung von $f$ auf $[a,b]$, falls $g$ stetig ist und $g|_{(a,b)}=f$ gilt.\\[1em]
Zeigen Sie, dass $f$ genau dann gleichm\"a\ss ig stetig ist, wenn eine stetige Fortestzung von $f$ auf $[a,b]$ existiert.\\[1em]
{\bf Aufgabe 5:} (4 Punkte) Sei $I\subseteq\R$ ein Intervall und $f:I\rightarrow\R$ eine beschr\"ankte Funktion. Definiere den Stetigkeitsmodul $\omega_f$ von $f$ durch
\begin{align*}
\omega_f:[0,\infty)\rightarrow\R:\delta\mapsto\sup\{|f(x)-f(x')|:x,x'\in I\text{ mit }|x-x'|\leq\delta\}.
\end{align*}
\begin{enumerate}
\item[(a)] Zeigen Sie, dass $\omega_f(\delta')\leq\omega_f(\delta)$ f\"ur alle $0\leq \delta'\leq \delta$ gilt.
\item[(b)] Zeigen Sie, dass $\omega_f(\delta'+\delta)\leq\omega_f(\delta')+\omega_f(\delta)$ f\"ur alle $\delta',\delta\geq 0$ gilt.
\item[(c)] Zeigen Sie die \"Aquivalenz folgender Aussagen:
\begin{enumerate}
\item[(i)] Die Funktion $f$ ist gleichm\"a\ss ig stetig.
\item[(ii)] Es gilt $\lim_{\delta\rightarrow 0}\omega_f(\delta)=0$.
\item[(iii)] Die Funktion $\omega_f$ ist gleichm\"a\ss ig stetig.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
{\bf Abgabe:} Am Donnerstag, dem 18. Dezember 2014, in der Vorlesung.

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\end{document}
