\documentclass[12pt]{article}
%
\textheight 24cm
\hoffset-2cm
\voffset-2cm
%
\usepackage[ngerman]{babel}
%\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin9]{inputenc}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
% 
\textwidth17cm
%
\pagestyle{empty}
%\usepackage{enumitem}
%\setlist{nolistsep}
%
\parskip2ex
\parindent0pt
%
\def\oacc#1{\ifmmode\mathaccent23{#1}\else\accent23{#1}\fi}
%
\newcommand{\sub}{\subseteq}
\newcommand{\ve}{\varepsilon}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\grad}{\mathrm{grad}}
%
%\input{defa}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Mathematisches Institut}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{der Universit\"at T\"ubingen}}
    
    \vspace{0.5cm}
    
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Prof. Dr. Frank Loose,}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Pirmin Vollert}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{WS 2014/15}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{18.12.2014}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 10}}
}}
\vspace{0.1cm}
%\begin{document}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen zu 
\glqq Analysis I\grqq}
\end{center}
\vspace{0.1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
{\bf Aufgabe 1:} (2 Punkte) Sei $f:[a,b]\rightarrow[0,\infty)$ eine stetige Funktion mit $\int_a^bf\;\text{d}x=0$. Zeigen Sie, dass dann $f=0$ gilt.\\[1em]
{\bf Aufgabe 2:} (2 Punkte) Sei $f:[0,1]\rightarrow\R$ die Funktion mit $f(0)=1$, $f(x)=0$, falls $x$ irrational ist, und $f(x)=\frac{1}{q}$, falls $x=\frac{p}{q}$ mit $p,q\in\N$ und der Ausdruck $\frac{p}{q}$ vollst\"andig gek\"urzt ist.\\[1em]
Zeigen Sie, dass $f$ integrierbar ist, und berechnen Sie $\int_0^1f\;\text{d}x$.\\[1em]
{\bf Aufgabe 3:} (4 Punkte) Sei $f:[a,b]\rightarrow\R$ integrierbar und $\xi\in(a,b)$. Zeigen Sie, dass dann auch $f|_{[a,\xi]}$ und $f|_{[\xi,b]}$ integrierbar sind und dass
\begin{align*}
\int_a^bf(x)\text{d}x=\int_a^\xi f(x)\text{d}x+\int_\xi^b f(x)\text{d}x
\end{align*}
gilt. ({\it Hinweis:} Zeigen Sie die Aussage zun\"achst f\"ur Treppenfunktionen und verwenden Sie Aufgabe 1 von Blatt 9.)\\[1em]
{\bf Aufgabe 4:} (4 Punkte) Sei $n\in\N$, $b>1$ und $f:[1,b]\rightarrow\R:x\mapsto x^n$.
\begin{enumerate}
\item[(a)] F\"ur jedes $r\in\N$ sei $q_r:=\sqrt[r]{b}$ und $Z^{(r)}=(x_0^{(r)},\ldots,x_r^{(r)})$ die Unterteilung von $[1,b]$ mit $x_k^{(r)}:=q_r^k$ f\"ur $0\leq k\leq r$. Weiter seien $\xi^{(r)}=(\xi_1^{(r)},\ldots,\xi_r^{(r)})$ die St\"utzstellen mit $\xi_k^{(r)}:=x_{k-1}^{(r)}$ f\"ur $1\leq k\leq r$. Zeigen Sie, dass f\"ur die Riemannsche Summe $S_r:=S(f,Z^{(r)},\xi^{(r)})$ von $f$
\begin{align*}
S_r=\frac{b^{n+1}-1}{\sum_{k=0}^nq_r^k}
\end{align*}
gilt. ({\it Hinweis:} Verwenden Sie die geometrische Summenformel.)
\item[(b)] Zeigen Sie, dass
\begin{align*}
\int_1^bx^n\text{d}x=\frac{b^{n+1}-1}{n+1}
\end{align*}
gilt.
\end{enumerate}
{\bf Aufgabe 5:} (4 Punkte) Sei $a>0$. Zeigen Sie, dass
\begin{align*}
\int_0^a\sqrt{x}\;\text{d}x=\frac{2}{3}\sqrt{a^3}
\end{align*}
gilt. ({\it Hinweis:} Berechnen Sie jeweils f\"ur $b>1$ und $b<1$ das Intergral $\int_1^b\sqrt{x}\;\text{d}x$ mit der Methode aus Aufgabe 4, um dann $\int_{1/n}^a\sqrt{x}\;\text{d}x$ f\"ur $n\in\N$ zu berechnen.)\\[1em]
{\bf Abgabe:} Am Donnerstag, dem 8. Januar 2015, in der Vorlesung.\\[2em]
{\bf Weihnachtsaufgabe$^\ast$:} Zeigen Sie, dass es keine stetige Funktion auf $\R$ gibt, die jeden reellen Wert genau zweimal oder gar nicht annimmt.\\[1em]
L\"osungen der Weihnachtsaufgabe k\"onnen bis Donnerstag, den 8. Januar 2015, um 10:15 Uhr im Postfach von Pirmin Vollert in C3A16 abgegeben werden.\\[1em]
$^\ast$: Die beste L\"osung wird mit einem Buchpreis belohnt.

%
\end{document}
