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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Mathematisches Institut}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{der Universit\"at T\"ubingen}}
    
    \vspace{0.5cm}
    
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Prof. Dr. Frank Loose,}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Pirmin Vollert}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{WS 2014/15}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{15.01.2015}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 12}}
}}
\vspace{0.1cm}
%\begin{document}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen zu 
\glqq Analysis I\grqq}
\end{center}
\vspace{0.1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%

%

{\bf Aufgabe 1:} (4 Punkte)
\begin{enumerate}\vspace{-\topsep}
\item[(a)] Berechnen Sie die Ableitung der Funktionen 
\begin{align*}f:(0,1)\rightarrow\R:x\mapsto \sqrt{1-x^2}\quad\text{und}\quad
g:(0,\infty)\rightarrow\R:x\mapsto(x+\ln(x))^7.
\end{align*}
\item[(b)] Bestimmen Sie jeweils eine Stammfunktion von
\begin{align*}
h:(1,\infty)\rightarrow\R:x\mapsto\frac{1}{x\cdot\ln(x)}\quad\text{und}\quad k:\R\setminus\{1,-1\}\rightarrow\R:x\mapsto\frac{1}{x^2-1}.
\end{align*}
\end{enumerate}
{\bf Aufgabe 2:} (2 Punkte) Berechnen Sie
\begin{align*}
\int_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}}x\cdot\sqrt{x^2+1}\;\text{d}x.
\end{align*}
{\bf Aufgabe 3:} (2 Punkte) Sei $f:\R\rightarrow\R$ eine differenzierbare Funktion mit konstanter Ableitung. Zeigen Sie, dass $f$ affin-linear ist.\\[1em]
{\bf Aufgabe 4:} (4 Punkte) Sei $f:[a,b]\rightarrow\R$ differenzierbar. Zeigen Sie:
\begin{enumerate}\vspace{-\topsep}
\item[(a)] Besitzt $f$ in $a$ ein lokales Minimum, so gilt $f'(a)\geq 0$, und besitzt $f$ ein lokales Minimum in $b$, so gilt $f'(b)\leq 0$.
\item[(b)] Gilt $f'(a)<0$ und $f'(b)>0$, so gibt es ein $\xi\in(a,b)$ mit $f'(\xi)=0$. ({\it Hinweis:} Die Ableitung $f'$ muss nicht stetig sein.)
\end{enumerate}
{\bf Aufgabe 5:} (4 Punkte) Sei $a>0$, $c\in\R$ und $f:(0,a)\rightarrow\R$ eine differenzierbare Funktion mit 
\begin{align*}
\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0\quad\text{und}\quad\lim_{x\rightarrow 0}f'(x)=c.
\end{align*}
Zeigen Sie, dass dann $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}=c$ gilt.\\[1em]
({\it Hinweis:} Zeigen Sie die Aussage zun\"achst f\"ur den Fall $c=0$ und betrachten Sie dann $g(x):=f(x)-cx$.)\\[1em]

{\bf Abgabe:} Am Donnerstag, dem 22. Januar 2015, in der Vorlesung.
%
\end{document}
