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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Mathematisches Institut}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{der Universit\"at T\"ubingen}}
    
    \vspace{0.5cm}
    
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Prof. Dr. Frank Loose,}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Pirmin Vollert}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{WS 2014/15}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{22.01.2015}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 13}}
}}
\vspace{0.1cm}
%\begin{document}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen zu 
\glqq Analysis I\grqq}
\end{center}
\vspace{0.1cm}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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{\bf Funktionalgleichung des Logarithmus:} F\"ur alle $a,b\in\R^+$ gilt $\ln(a\cdot b)=\ln(a)+\ln(b)$.\\[1em]
{\bf Aufgabe 1:} Sei $r\in\Q$ und $x\in\R^+$. Zeigen Sie die Gleichung
\begin{align*}
\ln(x^r)=r\cdot\ln(x)
\end{align*}
auf folgende Arten:
\begin{enumerate}\vspace{-\topsep}
\item[(a)] Verwenden Sie die Funktionalgleichung des Logarithmus, um die Formel zun\"achst f\"ur $r\in\N$, dann f\"ur $r\in\Z$ und zum Schluss f\"ur $r\in\Q$ zu zeigen.
\item[(b)] Zeigen Sie die Gleichung, indem Sie beide Seiten nach $x$ differenzieren.
\end{enumerate}
{\bf Exponentialfunktion:} Die Umkehrfunktion $\exp:\R\rightarrow\R^+$ von $\ln:\R^+\rightarrow\R$ hei\ss t Exponentialfunktion und f\"ur diese gilt $\exp'=\exp$. F\"ur $x\in\R$ und $a\in\R^+$ definiert man $e^x:=\exp(x)$ und $a^x:=e^{x\cdot\ln(a)}$, wobei aus Aufgabe 1 folgt, dass dies f\"ur $x\in\Q$ mit der urspr\"unglichen Definition der Potenz \"ubereinstimmt.\\[1em]
{\bf Aufgabe 2:}\vspace{-\topsep}
\begin{enumerate}
\item[(a)] Berechnen Sie die Ableitung der Funktionen
\begin{align*}
f:\R^+\rightarrow\R:x\mapsto x^x\quad\text{und}\quad g:\R^+\rightarrow\R:x\mapsto x^{(x^x)}.
\end{align*}
\item[(b)] Bestimmen Sie jeweils eine Stammfunktion von
\begin{align*}
h:\R\rightarrow\R:x\mapsto x^2\cdot e^x\quad\text{und}\quad k:(0,1)\rightarrow\R:x\mapsto\frac{x\cdot\ln(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}.
\end{align*}
\end{enumerate} 
{\bf Aufgabe 3:} (Regel von L'Hospital) Sei $I=(a,b)\subseteq\R$ ein offenes Intevall, wobei die F\"alle $b=\infty$ oder $a=-\infty$ zugelassen sind, und seien $f,g:I\rightarrow\R$ differenzierbare Funktionen mit $g'(x)\neq 0$ f\"ur alle $x\in I$ und
\begin{align*}
\lim_{x\nearrow b}f(x)=\lim_{x\nearrow b} g(x)=0.
\end{align*}
Zudem existiere der Grenzwert 
\begin{align*}
\lim_{x\nearrow b}\frac{f'(x)}{g'(x)}=:c\in\R.
\end{align*}
Zeigen Sie, dass dann $g(x)\neq 0$ f\"ur alle $x\in I$ und $\lim_{x\nearrow b}\frac{f(x)}{g(x)}=c$ gilt.\\[1em]
({\it Hinweis:} Zeigen Sie, dass $g$ streng monoton ist und dass man den allgemeinen Fall darauf zur\"uckf\"uhren kann, dass $g$ streng monoton fallend ist. Wenden Sie dann von Blatt 12 Aufgabe 5 auf die Funktion $F:=f\circ g^{-1}$ an.)\\[1em]
{\it Bemerkung:} Entsprechende Aussagen gelten auch, falls man $x\!\nearrow \!b$ durch $x\!\searrow \!a$ ersetzt, und f\"ur den Fall $\lim_{x\nearrow b}f(x)=\lim_{x\nearrow b} g(x)=\pm\infty$.\\[1em]
{\bf Aufgabe 4:} Bestimmen Sie folgende Grenzwerte:
\begin{align*}
\lim_{x\rightarrow\infty}x^3\cdot e^{-x^2},\quad\lim_{x\rightarrow 1}\left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln(x)}\right),\quad\lim_{x\rightarrow\infty} x\cdot\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right),\quad\lim_{x\searrow 0}x^x
\end{align*}
({\it Hinweis:} Verwenden Sie Aufgabe 3 inklusive der Bemerkung.)\\[1em]
{\bf Abgabe:} Am Donnerstag, dem 29. Januar 2015, in der Vorlesung.
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\end{document}
