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\def\oacc#1{\ifmmode\mathaccent23{#1}\else\accent23{#1}\fi}
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\DeclareMathOperator{\arsinh}{arsinh}
\DeclareMathOperator{\arcosh}{arcosh}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Mathematisches Institut}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{der Universit\"at T\"ubingen}}
    
    \vspace{0.5cm}
    
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Prof. Dr. Frank Loose,}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Pirmin Vollert}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{WS 2014/15}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{29.01.2015}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 14}}
}}
\vspace{0.1cm}
%\begin{document}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen zu 
\glqq Analysis I\grqq}
\end{center}
\vspace{0.1cm}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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{\bf Aufgabe 1:} (2 Punkte) Sei $f:\R\rightarrow\R$ eine differenzierbare Funktion mit $f'=f$. Zeigen Sie, dass dann ein $c\in\R$ existiert, so dass $f(x)=ce^x$ f\"ur alle $x\in\R$ gilt. ({\it Hinweis:} Betrachten Sie die Funktion $x\mapsto e^{-x}\cdot f(x)$.)\\[1em]
{\bf Aufgabe 2:} Definiere die hyperbolischen Funktionen $\sinh$ und $\cosh$ durch
\begin{align*}
\sinh:\R\rightarrow\R:x\mapsto\frac{1}{2}\left(e^x-e^{-x}\right)\quad\text{und}\quad \cosh:\R\rightarrow\R:x\mapsto\frac{1}{2}\left(e^x+e^{-x}\right).
\end{align*}
\begin{enumerate}
\item[(a)] (1 Punkt) Zeigen Sie $\sinh'=\cosh$ und $\cosh'=\sinh$.
\item[(b)] (1 Punkt) Sei $x\in\R$. Zeigen Sie $\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$.
\item[(c)] (2 Punkte) Seien $x,y\in\R$. Zeigen Sie eine der folgenden Gleichungen:
\begin{align*}
\cosh(x+y)&=\cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y),\\
\sinh(x+y)&=\cosh(x)\sinh(y)+\sinh(x)\cosh(y).
\end{align*}
\item[(d)] (4 Punkte) Zeigen Sie, dass $\sinh:\R\rightarrow\R$ und $\cosh|_{(0,\infty)}:(0,\infty)\rightarrow(1,\infty)$ bijektiv sind und berechnen Sie die Ableitung der Umkehrfunktionen $\arsinh:=\sinh^{-1}:\R\rightarrow\R$ und $\arcosh:=(\cosh|_{(0,\infty)})^{-1}:(1,\infty)\rightarrow(0,\infty)$.
\end{enumerate}
{\bf Aufgabe 3:} (3 Punkte) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von $f:\R\rightarrow\R:x\mapsto\sqrt{x^2+1}$. ({\it Hinweis:} Substituieren Sie zuerst mit $\varphi(t)=\sinh(t)$ und wenden Sie dann partielle Integration an.)\\[1em]
{\bf Aufgabe 4:} (3 Punkte) Sei $H:=\{(x,y)\in\R^2:x^2-y^2=1,\;x>0\}$, $P=(a,b)\in H$ mit $b> 0$, $Q:=(a,-b)$, $o:=(0,0)$ und $F$ der Fl\"acheninhalt der Fl\"ache, die von $\overline{oP}$, $\overline{oQ}$ und $H$ eingeschlossen wird. Zeigen Sie, dass dann $a=\cosh(F)$ und $b=\sinh(F)$ gilt.\\[1em]
({\it Hinweis:}  Zeigen Sie $2\cdot\int_1^a\sqrt{x^2-1}\;\text{d}x=a\cdot\sinh(\arcosh(a))-\arcosh(a)$, indem Sie substituieren und durch partielle Integration eine Stammfunktion von $\sinh^2$ bestimmen. Zeigen Sie dann $\sinh(\arcosh(a))=b$ und dr\"ucken Sie $F$ mit dem vorigen Integral aus.)\\[1em]
{\bf Abgabe:} Am Donnerstag, dem 5. Februar 2015, in der Vorlesung.
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\end{document}
