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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Mathematisches Institut}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{der Universit\"at T\"ubingen}}
    
    \vspace{0.5cm}
    
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Prof. Dr. Frank Loose,}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Pirmin Vollert}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{WS 2014/15}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{05.02.2015}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 15}}
}}
\vspace{0.1cm}
%\begin{document}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen zu 
\glqq Analysis I\grqq}
\end{center}
\vspace{0.1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%

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{\bf Aufgabe 1} (Punkte 3) Sei $I\subseteq \R$ ein Intervall und $f:I\rightarrow\R$ eine differenzierbare Funktion mit $f'=1+f^2$. Zeigen Sie, dass dann ein $c\in\R$ existiert, so dass f\"ur alle $x\in I$
\begin{align*}
f(x)=\tan(x+c)
\end{align*}
gilt. ({\it Hinweis:} Betrachten Sie die Funktion $x\mapsto \arctan (f(x))$.)\\[1em]
{\bf Aufgabe 2:} (3 Punkte) Zeigen Sie 
\begin{align*}
\frac{\pi}{2}=\int_{-1}^1\frac{1}{1+t^2}\;\text{d}t.
\end{align*}
{\bf Aufgabe 3:} (3 Punkte) Seien $x,y\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ mit $x+y\in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$. Zeigen Sie, dass dann
\begin{align*}
\tan(x+y)=\frac{\tan(x)+\tan(y)}{1-\tan(x)\tan(y)}
\end{align*}
gilt. ({\it Hinweis:} Differenzieren Sie die rechte Seite nach $x$ und verwenden Sie Aufgabe 1.)\\[1em]
{\bf Aufgabe 4:} (4 Punkte)\vspace{-\topsep} 
\begin{enumerate}
\item[(a)] Berechnen Sie die L\"ange der Kurve $\alpha:[1,e]\rightarrow \R^2:t\mapsto(t^2,\ln(t)-\frac{1}{4}t^4)$.
\item[(b)] Berechnen Sie die L\"ange des Parabelbogens 
\begin{align*}
B:=\{(x,y)\in \R^2:0\leq x\leq 1,\;y=x^2\}.
\end{align*}
({\it Hinweis:} Finden Sie zun\"achst eine Parametrisierung von $B$ und verwenden Sie die L\"osung von Blatt 14 Aufgabe 3 $x\mapsto \frac{1}{2}(x\cdot\sqrt{x^2+1}+\arsinh(x))$.)
\end{enumerate}
{\bf Aufgabe 5:} (3 Punkte) Seien $I,J\subseteq \R$ abgeschlossene Intervalle, $\alpha:I\rightarrow\R^2$ eine stetig differenzierbare Kurve und $\varphi:J\rightarrow I$ ein bijektive, stetig differenzierbare Abbildung mit $\varphi'(x)\neq 0$ f\"ur alle $x\in J$. Zeigen Sie, dass die Kurven $\alpha$ und $\beta:=\alpha\circ\varphi:J\rightarrow \R^2$ dieselben L\"angen haben, d.h. es gilt
\begin{align*}
L[\alpha]=L[\beta].
\end{align*}\\[1em]
{\bf Freiwillige Abgabe:} Am Donnerstag, dem 12. Februar 2015, in der Vorlesung. Die erreichten Punkte dieses \"Ubungsblatts werden angerechnet, ohne dass sich die f\"ur die Klausurzulassung ben\"otigte Gesampunktzahl \"andert.
%
\end{document}
