| Datum |
Thema |
Bemerkungen, unvollstaendige Literaturhinweise |
| Woche 1 |
| 14. April |
(allgemeine) Markoveigenschaft, Charakterisierung mit Hilfe endlich vieler Zeitpunkte
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Breiman Chapter 15.1 |
| 16. April |
Markov-Kerne, Uebergangskerne von Markov-Prozessen, endlich dimensionale
Randverteilungen von Markovprozessen |
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| Woche 2 |
| 21. April |
Verkettung von Markov-Kernen, Chapman-Kolmogorov-Gleichung,
projektive Familien und Limiten, Fortsetzungssatz von Kolmogorov (ohne Beweis).
Familien von Markov-Kernen, die die Chapman-Kolmogorov-Gleichungen erfuellen,
induzieren Markov-Prozesse.
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Breiman Chapter 15.2 |
| 23. April |
Raeumlich und/oder zeitlich homogene Markovkerne. Unabhaengige und/oder stationaere Zuwaechse von Prozessen. |
Abgabe Blatt 1
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| Woche 3 |
| 28. April |
0-1-Gesetz von
Blumenthal.
Unbegrenzt teilbare Verteilungen und deren Fouriertransformierte.
Levy-Khinchin-Formel (ohne Beweis).
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Der in der Vorlesung gezeigte Beweis des 0-1-Gesetzes von Blumenthal war nicht ganz richtig. Hier ist eine korrigierte Version. |
| 30. April |
Korrespondenz zwischen Prozessen mit unabh., stat. Zuwaechsen, die in gewissem
Sinne stetig in der Null sind, und unendlich teilbaren Verteilungen.
Live-Simulationen von Poisson- und Cauchy-Prozess und Brownscher Bewegung.
Stoppzeiten in stetiger Zeit.
| Abgabe Blatt 2; Breiman Chapter 14.4 |
| Woche 4 |
| 5. Mai |
Prozesse mit unabhaengigen, stationaeren Zuwaechsen und rechtsstetigen Pfaden haben die Starke Markov-Eigenschaft. Par. 4: MARKOVPROZESSE MIT ABZAEHLBAREM ODER ENDLICHEM ZUSTANDSRAUM. Wie man aus einer zeitlich diskreten und homogenen Markovkette und einem Poissonprozess eine zeitlich stetige und homogene Markovkette bastelt.
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Norris, Chapters 2, 3 |
| 7. Mai |
Regulaere Halbgruppen stochastischer Uebergangskerne. Matrix-Exponential- und -Logarithmus-Funktion.
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Abgabe Blatt 3
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| Woche 5 |
| 12. Mai |
Generatoren, Q-Matrix. Realisierung und Simulation von Markovprozessen mit endl. Zustandsraum und gegebenem
Generator mittels zeitlich diskreten Markovketten und exponentiellen Wartezeiten
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| 14. Mai |
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Keine Vorlesung (Feiertag). Abgabe von Blatt 4 bis spaetestens Freitag, 15.Mai, 12:00 Uhr im Postkasten von Prof. Zerner
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| Woche 6 |
| 19. Mai |
KAPITEL 2, Par. 5: MARTINGALE IN STETIGER ZEIT. (Sub-/Super-)Martingale und Prozesse mit unabhaengige (und stationaeren) Zuwaechsen.
Ein Stoppsatz.
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Breiman Chapter 14.3 |
| 21. Mai |
Doobs Martingalungleichung. KAPITEL 3: BROWNSCHE BEWEGUNG (BB). Par. 6: DEFINITION UND KONSTRUKTION DER BB.
Levys Konstruktion
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Abgabe von Blatt 5; Meintrup-Schaeffler Kap. 12; Moerters, Peres Chapter 1
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| Woche 7 |
| 26. Mai |
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Keine Vorlesung (Pfingstwoche) |
| 28. Mai |
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Keine Vorlesung (Pfingstwoche)
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| Woche 8 |
| 2. Juni |
Par. 7:
Levys Konstruktion (Forts.). BROWNSCHE BEWEGUNG ALS GAUSSPROZESS. Gaussprozesse.
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Abgabe Blatt 6 |
| 4. Juni |
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Keine Vorlesung (Feiertag)
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| Woche 9 |
| 9. Juni |
Invarianz der BB unter gewissen Transformationen (Spiegelung an Zeitachse, Skalierung, Zeitinversion, Zeitumkehr, Starke Markoveigenschaft, Spiegelungsprinzip)
Par. 8: WACHSTUM DER BROWNSCHEN BEWEGUNG: Starkes Gesetz der Grossen Zahlen fuer die BB.
B_n/Wurzel(n) oszilliert zwischen plus und minus unendlich. 0-1-Gesetz von Kolmogorov fuer die BB
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| 11. Juni |
Laufendes Maximum der BB. Dichte der Eintrittszeiten. Prozess der Eintrittszeiten hat unabhaengige, stationaere Zuwaechse.
Gesetz vom iterierten Logarithmus.
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Abgabe Blatt 7
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| Woche 10 |
| 16. Juni |
PAR.9: BB UND MARTINGALE. Austritt(szeit) der BB aus Intervall. BB mit Drift. Levys Charakterisierung der BB (ohne Beweis) PAR. 10: NULLSTELLEN DER BB. W'keit fuer eine Nullstelle der BB in [s,t].
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Moerters Peres Ch. 2.4 |
| 18. Juni |
Arcussinus-Gesetz fuer die letzte Nullstelle. Nullstellenmenge
ist perfekt Nullmenge. PAR 11: LOKALE PFADEIGENSCHAFTEN DER BB. BB hat auf einer Eins-Menge abzaehlbar unendlich viele lokale Maximumstellen;
diese sind alle strikt. |
Abgabe Blatt 8;Karatzas, Shreve Chapter 2.9
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| Woche 11 |
| 23. Juni |
Pfade der BB sind f.s. nirgendwo Lipschitz-stetig differenzierbar.
Totale und quadratische Variation der BB.
PAR. 12: KONVERGENZ GEGEN DIE BB. Einbettungssatz von Skorkhod (Beweis nur fuer die einfache symmetrische Irrfahrt),
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Durrett, 4. Aufl., Chapter 8.7 |
| 25. Juni |
Funktionaler Zentraler Grenzwertsatz (Invarianzprinzip) von Donsker. Anwendung auf stetige Funktionen.
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Abgabe Blatt 9 |
| Woche 12 |
| 30. Juni |
Portmanteau-Theorem fuer Konvergenz in Verteilung auf metrischen Raeumen. Continuous mapping theorem. Anwendung: Arcussinus-Gesetz fuer die letzte Nullstelle von zentrierten Irrfahrten |
Billingsley, Convergence of Probability Measures, Chapter 1.2 |
| 2. Juli |
KAPITEL 4: ETWAS STOCHASTISCHE ANALYSIS. PAR. 13: MOTIVATION.
Stochastische Differentialgleichungen und Integrale: Motivation.
Riemann-Stieltjes-Integral. PAR. 14: ITO-INTEGRAL BZGL. BROWNSCHER BEWEGUNG FUER ELEMENTARE INTEGRANDEN. Elementare Funktionen, Ito-Integral dafuer. Eigenschaften des Ito-Integrales fuer Elementare Prozesse
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Oksendal Ch. 3; Meintrup, Schaeffler Kap. 14, Bobrowski Ch. 4.4.2. Abgabe Blatt 10
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| Woche 13 |
| 7. Juli |
Fortsetzung: Eigenschaften des Ito-Integrales fuer Elementare Prozesse.
PAR. 15: ITO-INTEGRAL BZGL. BB FUER ALLGEMEINERE INTEGRANDEN. Progressiv-messbare Funktionen,
Approximation davon durch elementare Funktionen.
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| 9. Juli |
Ito-Integral progressiv-messbarer Integranden;
Eigenschaften davon, insbesondere Martingaleigenschaft und
Existenz einer Modifikation mit stetigen Pfaden. PAR. 16: ITO-FORMELN. Heuristik der klassischen Kettenregel und Ito-Formel fuer f(B _t). Ito-Formel fuer f(B_t), Beweis davon
unter starken Voraussetzungen
an f.
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Oksendal Ch. 4, Mikosch Ch. 2.3. Abgabe Blatt 11
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| Woche 14 |
| 14. Juli |
Fortsetzung Beweis Ito-Formel. Heuristische Herleitung der Ito-Formel fuer f(t,B_t). Geometrische BB. 1-dimensionaler Ito-Prozess X_t, Ito-Formel fuer f(t,X_t), Brownsche
Bruecke.
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| 16. Juli |
PAR. 17: LOESUNG VON SDEs MITTELS ITO-FORMEL. Starke Loesungen von SDE. Loesungsansatz mittels Ito-Formel.
Beispiele, Vasicek Zinsmodell, Langevin-Gleichung, Loesungsformel fuer allg. Lineare SDE.
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Mikosch Ch. 3.3. Abgabe Blatt 12
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| Woche 15 |
| 21. Juli |
PAR. 18: GIRSANOVS THEOREM. "Girsanov" fuer Irrfahrten mit Drift. Girsanov fuer B_t+t. Verallgemeinerung davon (ohne Bew.).
Beispiel einer schwachen Loesung einer SDE. |
Oksendal Ch. 8.6, Mikosch Ch. 4.2.
Vorlesungsstoff ist nicht mehr relevant fuer die Klausur, sondern nur fuer eventuelle Wiederholungspruefungen bzw. muendliche Pruefungen ueber "Stochastische Prozesse".
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| 23. Juli |
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Klausur
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