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Thema |
Bemerkungen |
| Woche 1 |
| 14. Oktober |
Kapitel 1: GRUNDLAGEN. Par. 1: UEBER SIGMA-ALGEBREN UND UNABHAENGIGKEIT.
Unabhaengige Mengensysteme, von Abbildungen
erzeugte sigma-Algebren
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| 16. Oktober |
Produkt-sigma-Algebren. Gemeinsame Verteilung ist durch endlichdimensionale
Randverteilungen bestimmt. Produktmass.
Terminale sigma-Algebra, 0-1-Gesetz von Kolmogorov
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| Woche 2 |
| 21. Oktober |
Kapitel 2: MARKOVKETTEN. Par. 2: BEISPIEL: IRRFAHRTEN AUF Z. Transienz einfacher asymmetrischer Irrfahrten, Rekurrenz der einfachen symmetrischen Irrfahrt (ESI). ESI waechst schneller als Wurzel(Zeit).
Par. 3: BEISPIEL: GALTON-WATSON-PROZESSE, ERZEUGENDE FUNKTIONEN. GW-Prozesse, erzeugende Funktionen.
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Bild eines Galton-Watson-Prozesses (mit freundl. Genehmigung von Prof.F.Merkl)
Abgabe Blatt 1 |
| 23. Oktober |
Eigenschaften von erzeugenden Funktionen.
Berechnung der Aussterbewahrscheinlichkeit von Galton-Watson-Prozessen.
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| Woche 3 |
| 28. Oktober |
Par. 4:
MARKOVEIGENSCHAFT. (Zeitlich homogene) Markovketten, Uebergangsmatrix, Darstellung und Konstruktion von Markov-Ketten als X_{n+1}=f(X_n,Y_{n+1}).
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Abgabe Blatt 2
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| 30. Oktober |
Mehrschrittuebergangsmatrix. Kanonischer Prozess auf dem Pfadraum. Par. 5: STOPPZEITEN UND STARKE MARKOVEIGENSCHAFT. Filtrationen, Stoppzeiten.
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| Woche 4 |
| 4. November |
Zu Stoppzeiten gehoerige sigma-Algebra und deren Eigenschaften. Starke Markoveigenschaft.
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Abgabe Blatt 3 |
| 6. November |
Par. 6: ZUSTANDSKLASSEN, REKURRENZ, PERIODE. Zustandsklasse, Rekurrenz/Transienz und Charakterisierungen, Greensche Funktion. Anzahl von Rueckkehrzeitpunkten ist geometrisch verteilt. Ist Zustandsraum endlich, so ist mindestens ein Zustand rekurrent. Irreduzible, rekurrente MKn besuchen jeden Zustand unendlich oft.
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| Woche 5 |
| 11. November |
Periode. Aperiodische, irreduzible stoch. Matrizen.
Par. 7. STATIONARITAET, INVARIANTE MASSE, ASYMPTOTIK. Stationaere Folgen, invariante Masse.
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Abgabe Blatt 4 |
| 13. November |
Doppeltstochastische Matrizen. (Konstruktive) Existenz von
invarianten (W')Massen fuer irreduzible Markovketten. Eindeutigkeit von
invarianten W'Massen fuer endliche, irreduzible Markovketten. Erwartete Rueckkehrzeit.
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| Woche 6 |
| 18. November |
Positive Rekurrenz und invariante W'Masse. Reversible Masse, sind invariant.
Nicht alle invarianten Masse sind reversibel. Zeitumkehr. Reversible W'Masse fuer Ehrenfest-Markovkette, Geburts- und Todesprozesse und
Irrfahrten auf ungerichteten Graphen.
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Abgabe Blatt 5 |
| 20. November |
Exponentielle Konvergenz gegen das invariante Mass, Beweis mittels Kopplung.
Erneuerungsstruktur fuer Eintrittzeiten und Erneuerungssatz fuer Markovketten.
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| Woche 7 |
| 25. November |
Ergodensatz fuer Markovketten.
Kapitel 3: BEDINGTE ERWARTUNGSWERTE UND MARTINGALE.
Par. 8: BED. E'WERTE. E'werte bedingt auf Ereignisse.
E'werte bedingt auf von Partitionen erzeugte sigma-Algebren.
E'werte bedingt auf allg. sigma-Algebren.
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Abgabe Blatt 6 |
| 27. November |
Existenz (Radon-Nikodym)
und Eindeutigkeit von bed. E'werten.
Rechenregeln fuer bedingte E'werte: Projektionseigenschaft,
Monotonie, Linearitaet, sigma-Stetigkeit (monotone Konvergenz), Jensensche Ungleichung,
messbare Faktoren im Integranden. Bed.E'Wert als Projektion
auf Unterraum. Turmeigenschaft.
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| Woche 8 |
| 2. Dezember |
Integranden, die unabh. bzgl. der bedingenden
sigma-Algebra sind. Bedingte Dichten, Faktorisierung.
Par 9: MARTINGALE. Par 9: (Sub-, Super-) Martingale. Beispiele fuer Martingale: Irrfahrten,
skalierter Galton-Watson-Prozess.
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Abgabe Blatt 7 |
| 4. Dezember |
Polyas Urne. Bedingung einer ZV
auf Elemente einer Filtration ergibt Martingal. Transformation von (Sub-)Martingalen.
Doob-Zerlegung. Par. 10: MARTINGAL-STOPPSATZ.
Doobscher Stoppsatz. |
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| Woche 9 |
| 9. Dezember |
Ruinproblem und erwartete Austrittszeiten fuer
unsymmetrische und symmetrische Irrfahrten auf Z.
Par. 11: MARTINGAL-KONVERGENZSATZ. Konvergenzsatz fuer Submartingale. Beweis mittel aufsteigender Ueberquerungen.
Konvergenzsatz fuer nicht-negative Supermartingale.
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Abgabe Blatt 8 |
| 11. Dezember |
Gestopptes Submartingal ist Submartingal. Konvergenz-Oszillationssatz fuer Martingale bei nicht zu grossen Zuwaechsen,
Zweites Lemma von Borel-Cantelli. Par. 12: MARTINGALE UND GLEICHGRADIGE INTEGRIERBARKEIT.
Gleichgradige Integrierbarkeit |
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| Woche 10 |
| 16. Dezember |
Satz von Vitali ueber Zusammenhang von Konvergenz n.W. und
Konvergenz in L^1. Verallgemeinerter Stoppsatz. L^1-Konvergenz von Martingalen.
Levys 0-1-Gesetz.
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Abgabe Blatt 9 |
| 18. Dezember |
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Vorlesung fiel aus.
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| Woche 11 |
| 6. Januar |
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Keine Vorlesung (Weihnachtspause) |
| 8. Januar |
Kapitel 4: ETWAS ERGODENTHEORIE. Par. 13: BIRKHOFFS ERGODENSATZ.
Invariante sigma-Algebra zu einer Folge von ZVn, Birkhoffs Ergodensatz, Beweis davon mit Hilfe von
Garsias Maximalem Ergodenlemma.
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| Woche 12 |
| 13. Januar |
Par. 14: ERGODISCHE FOLGEN. Ergodische Folgen.
Erzeugung von stationaeren bzw. ergodischen Folgen aus eben solchen.
Mischende Folgen.
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Abgabe Blatt 10 |
| 15. Januar |
Kap. 5: FOURIERTRANSFORMATION, SCHWACHE KONVERGENZ, NORMALVERTEILUNG.
Par. 15: FOURIERTRANSFORMATION.
Fouriertransformation von Wahrscheinlichkeitsmassen. Elementare Eigenschaften. Momente.
Fouriertransformation der Normalverteilung
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| Woche 13 |
| 20. Januar |
Eindeutigkeitssatz, Fourierumkehrformel, reellwertige Fouriertransformierte.
Par. 16 SCHWACHE KONVERGENZ UND FOURIERTRANSFORMATION. Gleichgradige Straffheit, Satz von Helly-Prohorov
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Abgabe Blatt 11 |
| 22. Januar |
Straffheit mittels Fouriertransformation, Stetigkeitssatz.
Zum Bew. des ZGWS. Par. 17. NORMALVERTEILUNG IN MEHREREN DIMENSIONEN UND FOURIERTRASFORMATION.
Kovarianzmatrix, Normalverteilte Vektoren.
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| Woche 14 |
| 27. Januar |
Mehrdim. Fouriertransformation,
Fouriertransformation der Normalverteilung.
Unkorreliertheit und Unabhaengigkeit,
Darstellung normalverteilter Vektoren
mittels i.i.d. standardnormalverteilter ZV,
Dichte von mehrdimensionalen Normalverteilungen. |
Abgabe Blatt 12 |
| 29. Januar |
Zentraler Grenzwertsatz in mehreren Dimensionen.
Kap. 6: PUNTPROZESSE. Par. 18: PUNKTPROZESSE AUF TEILMENGEN VON R^d.
Punktprozesse, Intensitaet davon, Poisson-Punkt-Prozesse (PPP). Ausduennung der Poissonverteilung |
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| Woche 15 |
| 3. Februar |
(Computer-)Simulation/Existenz von PPP. Addition von PPPs. Atomlose, einfach Punktprozesse. |
Abgabe Blatt 13 |
| 5. Februar |
Charakterisierung von PPP als vollstaendig zufaellige, einfache, atomlose Punktprozesse. Par. 19: PPP AUF DER POSITIVEN REELLEN HALBACHSE UND AUF R. Elementare Eigenschaften des Zaehlprozesses. |
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| Woche 16 |
| 10. Februar |
Zeiten zwischen den Spruengen eines Poissonprozesses
sind iid exponential verteilt.
Simulation von Poisson-verteilten ZVn, Gammaverteilung, Wartezeit-Paradoxon |
Vorlesungsstoff ist nicht mehr relevant fuer die Klausur, sondern nur fuer die Nachpruefung
bzw. muendliche Pruefung ueber "Wahrscheinlichkeitstheorie". |
| 12. Februar |
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Klausur
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