Datum Thema Bemerkungen
Woche 1
18. Oktober Kapitel 1: GRUNDLAGEN. Par. 1: UEBER SIGMA-ALGEBREN UND UNABHAENGIGKEIT. Unabhaengige Mengensysteme, von Abbildungen erzeugte sigma-Algebren. Blockungslemma. Produkt-sigma-Algebren. Gemeinsame Verteilung ist durch endlichdimensionale Randverteilungen bestimmt. Produktmass. Terminale sigma-Algebra Par.1-7 aus der Vorlesung (Seiten 0-87, Stand 06.12.16, 01:00 Uhr) Fortsetzung siehe unten
20. Oktober 0-1-Gesetz von Kolmogorov. Kapitel 2: MARKOVKETTEN. Par. 2: BEISPIEL: IRRFAHRTEN AUF Z. Live-Simulationen von Irrfahrten. Transienz einfacher asymmetrischer Irrfahrten, Rekurrenz der einfachen symmetrischen Irrfahrt (ESI). ESI waechst schneller als Wurzel(Zeit).
Woche 2
25. Oktober Par. 3: BEISPIEL: GALTON-WATSON-PROZESSE, ERZEUGENDE FUNKTIONEN. GW-Prozesse, Live-Simulationen davon. Erzeugende Funktionen. Eigenschaften von erzeugenden Funktionen. Berechnung der Aussterbewahrscheinlichkeit von Galton-Watson-Prozessen.
27. Oktober Par. 4: MARKOVEIGENSCHAFT. (Zeitlich homogene) Markovketten, Uebergangsmatrix, Darstellung und Konstruktion von Markov-Ketten als X_{n+1}=f(X_n,Y_{n+1}). Abgabe Blatt 1
Woche 3
1. November --- Keine Vorlesung (Feiertag Allerheiligen)
3. November Mehrschrittuebergangsmatrix. Kanonischer Prozess auf dem Pfadraum. Par. 5: STOPPZEITEN UND DIE STARKE MARKOVEIGENSCHAFT. Filtrationen, Stoppzeiten. Abgabe Blatt 2
Woche 4
8. November Zu Stoppzeiten gehoerige sigma-Algebra und deren Eigenschaften. Starke Markoveigenschaft. Par. 6: KLASSENEIGENSCHAFTEN: REKURRENZ/TRANSIENZ, PERIODE. Zustandsklassen, Irreduzibilitaet.
10. November Rekurrenz/Transienz und Charakterisierungen, Greensche Funktion. Anzahl von Rueckkehrzeitpunkten ist geometrisch verteilt. Ist Zustandsraum endlich, so ist mindestens ein Zustand rekurrent. Irreduzible, rekurrente MKn besuchen jeden Zustand unendlich oft. Abgabe Blatt 3
Woche 5
15. November Periode. Aperiodische, irreduzible stoch. Matrizen. Par. 7. STATIONARITAET, INVARIANTE MASSE, ASYMPTOTIK. Stationaere Folgen, invariante Masse. Doppeltstochastische Matrizen.
17. November (Konstruktive) Existenz von invarianten (W')Massen fuer irreduzible Markovketten. Eindeutigkeit von invarianten W'Massen fuer endliche, irreduzible Markovketten. Erwartete Rueckkehrzeit. Positive Rekurrenz und invariante W'Masse. Reversible Masse, sind invariant. Nicht alle invarianten Masse sind reversibel. Zeitumkehr. (Seiten 69-76) Abgabe Blatt 4
Woche 6
22. November Reversible W'Masse fuer Ehrenfest-Markovkette, Geburts- und Todesprozesse, Irrfahrten auf ungerichteten Graphen. Exponentielle Konvergenz gegen das invariante Mass, Beweis mittels Kopplung. Erneuerungsstruktur fuer Eintrittzeiten und Erneuerungssatz fuer Markovketten. (Seiten 77-85)
24. November Ergodensatz fuer Markovketten. Kapitel 3: BEDINGTE ERWARTUNGSWERTE UND MARTINGALE. Par. 8: BED. E'WERTE. E'werte bedingt auf Ereignisse. E'werte bedingt auf von Partitionen erzeugte sigma-Algebren. (Seite 86-94) Abgabe Blatt 5, Par.8-14 aus der Vorlesung (Seiten 88-149, Stand 22.12.16, 03:00 Uhr, Fortsetzung siehe unten )
Woche 7
29. November E'werte bedingt auf allg. sigma-Algebren. Existenz (Radon-Nikodym) und Eindeutigkeit von bed. E'werten. Rechenregeln fuer bedingte E'werte: Projektionseigenschaft, Monotonie, Linearitaet, sigma-Stetigkeit (monotone Konvergenz), Jensensche Ungleichung, messbare Faktoren im Integranden. Bed.E'Wert als Projektion auf Unterraum. (Seiten 95-102)
1. Dezember Turmeigenschaft. Integranden, die unabh. bzgl. der bedingenden sigma-Algebra sind. Bedingte Dichten, Faktorisierung. Par 9: MARTINGALE. Par 9: (Sub-, Super-) Martingale. Beispiele fuer Martingale: Irrfahrten, skalierter Galton-Watson-Prozess. (Seiten 103-109) Abgabe Blatt 6
Woche 8
6. Dezember Polyas Urne. Bedingung einer ZV auf Elemente einer Filtration ergibt Martingal. Transformation von (Sub-)Martingalen. Doob-Zerlegung. Par. 10: MARTINGAL-STOPPSATZ. Doobscher Stoppsatz. Ruinproblem fuer einfache symmetrische Irrfahrt auf Z. (Seiten 110-115)
8. Dezember Ruinproblem fuer unsymmetrische Irrfahrten auf Z. Par. 11: MARTINGAL-KONVERGENZSAETZE. Konvergenzsatz fuer Submartingale. Beweis mittel aufsteigender Ueberquerungen. Konvergenzsatz fuer nicht-negative Supermartingale. Gestopptes Submartingal ist Submartingal. Konvergenz-Oszillationssatz fuer Martingale bei nicht zu grossen Zuwaechsen. (Seiten 116-123) Abgabe Blatt 7
Woche 9
13. Dezember Allgemeines Lemma von Borel-Cantelli. Par. 12: MARTINGALE UND GLEICHGRADIGE INTEGRIERBARKEIT. Gleichgradige Integrierbarkeit. Satz von Vitali ueber Zusammenhang von Konvergenz n.W. und Konvergenz in L^1. Verallgemeinerter Stoppsatz. L^1-Konvergenz von Martingalen. (Seiten 124-132)
15. Dezember Levys 0-1-Gesetz. Kapitel 4. ERGODENTHEORIE. Par. 13: BIRKHOFFS ERGODENSATZ. Invariante sigma-Algebra zu einer Folge von ZVn, Birkhoffs Ergodensatz, Beweis davon mit Hilfe von Garsias Maximalem Ergodenlemma. (Seiten 133-142) Abgabe Blatt 8
Woche 10
20. Dezember Par. 14: ERGODISCHE FOLGEN. Ergodische Folgen von Zufallsvariablen. Erzeugung von stationaeren bzw. ergodischen Folgen aus eben solchen. Ergodische Markovketten. Mischende Folgen. KAPITEL 5: FOURIERTRANSFORMATION UND SCHWACHE KONVERGENZ. Par. 15: FOURIERTRANSFORMATION Komplexwertige Zufallsvariable und deren Erwartungswert (Seiten 143-151) Par.15-20 aus der Vorlesung (Seiten 150-228, Stand 07.2.17, 00:20 Uhr)
22. Dezember Fouriertransformation von Wahrscheinlichkeitsmassen auf den reellen Zahlen. Elementare Eigenschaften. Momente. Fouriertransformation der Normalverteilung. Eindeutigkeitssatz, Fourierumkehrformel, reellwertige Fouriertransformierte. (Seiten 152-159) Abgabe Blatt 9
Woche 11
10. Januar Par. 16 SCHWACHE KONVERGENZ UND FOURIERTRANSFORMATION. Gleichgradige Straffheit, Satz von Helly-Prohorov, Straffheit mittels Fouriertransformation, Stetigkeitssatz. Zum Bew. des ZGWS. (Seiten 160-167)
12. Januar Kapitel 6: Multivariate Normalverteilung und Brownsche Bewegung Par. 17. MULTIVARIATE NORMALVERTEILUNG. Kovarianzmatrix, Normalverteilte Vektoren. Darstellung normalverteilter Vektoren mittels i.i.d. standardnormalverteilter ZV. Mehrdim. Fouriertransformation, Fouriertransformation der Normalverteilung. Unkorreliertheit und Unabhaengigkeit, Dichte von mehrdimensionalen Normalverteilungen, Zentraler Grenzwertsatz in mehreren Dimensionen. (Seiten 168-178) Abgabe Blatt 10
Woche 12
17. Januar Par. 18. BROWNSCHE BEWEGUNG. Definition der Brownschen Bewegung und Konstruktion auf [0,1] gemaess Levy. (Seiten 179-187)
19. Januar Konstruktion der Brownschen Bewegung auf [0,unendlich). Invarianzeigenschaften der Brownschen Bewegung. Ausblick (Seiten 188-196) Abgabe Blatt 11
Woche 13
24. Januar Kapitel 7: Punktprozesse. Par. 19: Poissonprozesse auf den (nichtnegativen) reellen Zahlen. Definition mittels i.i.d. exponentialverteilter ZV. Elementare Eigenschaften von Poissonprozessen. Gammaverteilung, Simulation von Poisson-verteilten ZVn. Ausduennung. (Seiten 197-205)
26. Januar Konstruktion von Poissonprozessen mittels i.i.d. uniformverteilter Zufallsvariabler. Poissonprozess auf den reellen Zahlen. Unabhaengige und stationaere Zuwaechse. Wartezeit-Paradoxon. Zusammengesetzter Poissonprozess. (Seiten 206-212) Abgabe Blatt 12
Woche 14
31. Januar Par. 20: Punktprozesse auf Teilmengen von R^d. Intensitaet davon, Poisson-Punkt-Prozesse (PPP), Konstruktion von PPP mittels einer poissonverteilten Anzahl von iid ZVn. Superposition und Ausduennen von PPP (Seiten 213-220)
2. Februar Charakterisierung von PPP als vollstaendig zufaellige, einfache, atomlose Punktprozesse. (Seiten 221-228) Abgabe Blatt 13
Woche 15
7. Februar --- Besprechung der Altklausuren
9. Februar --- Klausur