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Thema |
Bemerkungen |
| Woche 1 |
| 18. Oktober |
Kapitel 1: GRUNDLAGEN. Par. 1: UEBER SIGMA-ALGEBREN UND UNABHAENGIGKEIT.
Unabhaengige Mengensysteme, von Abbildungen
erzeugte sigma-Algebren. Blockungslemma. Produkt-sigma-Algebren. Gemeinsame Verteilung ist durch endlichdimensionale
Randverteilungen bestimmt. Produktmass.
Terminale sigma-Algebra
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Par.1-7 aus der Vorlesung (Seiten 0-87, Stand 06.12.16, 01:00 Uhr) Fortsetzung siehe unten |
| 20. Oktober |
0-1-Gesetz von Kolmogorov. Kapitel 2: MARKOVKETTEN. Par. 2: BEISPIEL: IRRFAHRTEN AUF Z. Live-Simulationen von Irrfahrten. Transienz einfacher asymmetrischer Irrfahrten, Rekurrenz der einfachen symmetrischen Irrfahrt (ESI). ESI waechst schneller als Wurzel(Zeit).
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| Woche 2 |
| 25. Oktober |
Par. 3: BEISPIEL: GALTON-WATSON-PROZESSE, ERZEUGENDE FUNKTIONEN. GW-Prozesse, Live-Simulationen davon. Erzeugende Funktionen. Eigenschaften von erzeugenden Funktionen. Berechnung der Aussterbewahrscheinlichkeit von Galton-Watson-Prozessen.
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| 27. Oktober |
Par. 4:
MARKOVEIGENSCHAFT. (Zeitlich homogene) Markovketten, Uebergangsmatrix, Darstellung und Konstruktion von Markov-Ketten als X_{n+1}=f(X_n,Y_{n+1}).
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Abgabe Blatt 1
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| Woche 3 |
| 1. November |
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Keine Vorlesung (Feiertag Allerheiligen)
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| 3. November |
Mehrschrittuebergangsmatrix. Kanonischer Prozess auf dem Pfadraum. Par. 5: STOPPZEITEN UND DIE STARKE MARKOVEIGENSCHAFT. Filtrationen, Stoppzeiten.
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Abgabe Blatt 2
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| Woche 4 |
| 8. November |
Zu Stoppzeiten gehoerige sigma-Algebra und deren Eigenschaften. Starke Markoveigenschaft.
Par. 6: KLASSENEIGENSCHAFTEN: REKURRENZ/TRANSIENZ, PERIODE. Zustandsklassen, Irreduzibilitaet.
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| 10. November |
Rekurrenz/Transienz und Charakterisierungen, Greensche Funktion. Anzahl von Rueckkehrzeitpunkten ist geometrisch verteilt. Ist Zustandsraum endlich, so ist mindestens ein Zustand rekurrent. Irreduzible, rekurrente MKn besuchen jeden Zustand unendlich oft.
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Abgabe Blatt 3
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| Woche 5 |
| 15. November |
Periode. Aperiodische, irreduzible stoch. Matrizen.
Par. 7. STATIONARITAET, INVARIANTE MASSE, ASYMPTOTIK. Stationaere Folgen, invariante Masse. Doppeltstochastische Matrizen.
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| 17. November |
(Konstruktive) Existenz von
invarianten (W')Massen fuer irreduzible Markovketten. Eindeutigkeit von
invarianten W'Massen fuer endliche, irreduzible Markovketten. Erwartete Rueckkehrzeit. Positive Rekurrenz und invariante W'Masse. Reversible Masse, sind invariant.
Nicht alle invarianten Masse sind reversibel. Zeitumkehr. (Seiten 69-76)
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Abgabe Blatt 4
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| Woche 6 |
| 22. November |
Reversible W'Masse fuer Ehrenfest-Markovkette, Geburts- und Todesprozesse,
Irrfahrten auf ungerichteten Graphen.
Exponentielle Konvergenz gegen das invariante Mass, Beweis mittels Kopplung.
Erneuerungsstruktur fuer Eintrittzeiten und Erneuerungssatz fuer Markovketten. (Seiten 77-85)
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| 24. November |
Ergodensatz fuer Markovketten.
Kapitel 3: BEDINGTE ERWARTUNGSWERTE UND MARTINGALE.
Par. 8: BED. E'WERTE. E'werte bedingt auf Ereignisse.
E'werte bedingt auf von Partitionen erzeugte sigma-Algebren. (Seite 86-94)
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Abgabe Blatt 5, Par.8-14 aus der Vorlesung (Seiten 88-149, Stand 22.12.16, 03:00 Uhr, Fortsetzung siehe unten )
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| Woche 7 |
| 29. November |
E'werte bedingt auf allg. sigma-Algebren. Existenz (Radon-Nikodym)
und Eindeutigkeit von bed. E'werten.
Rechenregeln fuer bedingte E'werte: Projektionseigenschaft,
Monotonie, Linearitaet, sigma-Stetigkeit (monotone Konvergenz), Jensensche Ungleichung,
messbare Faktoren im Integranden. Bed.E'Wert als Projektion
auf Unterraum. (Seiten 95-102)
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| 1. Dezember |
Turmeigenschaft. Integranden, die unabh. bzgl. der bedingenden
sigma-Algebra sind. Bedingte Dichten, Faktorisierung.
Par 9: MARTINGALE. Par 9: (Sub-, Super-) Martingale. Beispiele fuer Martingale: Irrfahrten,
skalierter Galton-Watson-Prozess. (Seiten 103-109)
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Abgabe Blatt 6
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| Woche 8 |
| 6. Dezember |
Polyas Urne. Bedingung einer ZV
auf Elemente einer Filtration ergibt Martingal. Transformation von (Sub-)Martingalen.
Doob-Zerlegung. Par. 10: MARTINGAL-STOPPSATZ.
Doobscher Stoppsatz. Ruinproblem fuer einfache symmetrische Irrfahrt auf Z. (Seiten 110-115)
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| 8. Dezember |
Ruinproblem fuer
unsymmetrische Irrfahrten auf Z.
Par. 11: MARTINGAL-KONVERGENZSAETZE. Konvergenzsatz fuer Submartingale. Beweis mittel aufsteigender Ueberquerungen.
Konvergenzsatz fuer nicht-negative Supermartingale. Gestopptes Submartingal ist Submartingal. Konvergenz-Oszillationssatz fuer Martingale bei nicht zu grossen Zuwaechsen. (Seiten 116-123)
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Abgabe Blatt 7
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| Woche 9 |
| 13. Dezember |
Allgemeines Lemma von Borel-Cantelli. Par. 12: MARTINGALE UND GLEICHGRADIGE INTEGRIERBARKEIT.
Gleichgradige Integrierbarkeit. Satz von Vitali ueber Zusammenhang von Konvergenz n.W. und
Konvergenz in L^1. Verallgemeinerter Stoppsatz. L^1-Konvergenz von Martingalen.
(Seiten 124-132)
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| 15. Dezember |
Levys 0-1-Gesetz. Kapitel 4. ERGODENTHEORIE. Par. 13: BIRKHOFFS ERGODENSATZ. Invariante sigma-Algebra zu einer Folge von ZVn, Birkhoffs Ergodensatz, Beweis davon mit Hilfe von
Garsias Maximalem Ergodenlemma. (Seiten 133-142)
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Abgabe Blatt 8
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| Woche 10 |
| 20. Dezember |
Par. 14: ERGODISCHE FOLGEN. Ergodische Folgen von Zufallsvariablen. Erzeugung von stationaeren bzw. ergodischen Folgen aus eben solchen.
Ergodische Markovketten. Mischende Folgen. KAPITEL 5: FOURIERTRANSFORMATION UND SCHWACHE KONVERGENZ. Par. 15: FOURIERTRANSFORMATION Komplexwertige Zufallsvariable und deren Erwartungswert
(Seiten 143-151)
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Par.15-20 aus der Vorlesung (Seiten 150-228, Stand 07.2.17, 00:20 Uhr) |
| 22. Dezember |
Fouriertransformation von Wahrscheinlichkeitsmassen auf den reellen Zahlen. Elementare Eigenschaften. Momente.
Fouriertransformation der Normalverteilung. Eindeutigkeitssatz, Fourierumkehrformel, reellwertige Fouriertransformierte. (Seiten 152-159)
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Abgabe Blatt 9
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| Woche 11 |
| 10. Januar |
Par. 16 SCHWACHE KONVERGENZ UND FOURIERTRANSFORMATION. Gleichgradige Straffheit, Satz von Helly-Prohorov,
Straffheit mittels Fouriertransformation, Stetigkeitssatz.
Zum Bew. des ZGWS. (Seiten 160-167)
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| 12. Januar |
Kapitel 6: Multivariate Normalverteilung und Brownsche Bewegung
Par. 17. MULTIVARIATE NORMALVERTEILUNG.
Kovarianzmatrix, Normalverteilte Vektoren. Darstellung normalverteilter Vektoren
mittels i.i.d. standardnormalverteilter ZV. Mehrdim. Fouriertransformation,
Fouriertransformation der Normalverteilung.
Unkorreliertheit und Unabhaengigkeit,
Dichte von mehrdimensionalen Normalverteilungen, Zentraler Grenzwertsatz in mehreren Dimensionen. (Seiten 168-178)
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Abgabe Blatt 10
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| Woche 12 |
| 17. Januar |
Par. 18. BROWNSCHE BEWEGUNG. Definition der Brownschen Bewegung und Konstruktion auf [0,1] gemaess Levy. (Seiten 179-187)
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| 19. Januar |
Konstruktion der Brownschen Bewegung auf [0,unendlich). Invarianzeigenschaften der Brownschen Bewegung. Ausblick
(Seiten 188-196)
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Abgabe Blatt 11
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| Woche 13 |
| 24. Januar |
Kapitel 7: Punktprozesse. Par. 19: Poissonprozesse auf den (nichtnegativen) reellen Zahlen. Definition mittels i.i.d. exponentialverteilter ZV.
Elementare Eigenschaften von Poissonprozessen. Gammaverteilung,
Simulation von Poisson-verteilten ZVn. Ausduennung. (Seiten 197-205) |
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| 26. Januar |
Konstruktion von Poissonprozessen mittels i.i.d. uniformverteilter Zufallsvariabler. Poissonprozess auf den reellen Zahlen. Unabhaengige und stationaere Zuwaechse. Wartezeit-Paradoxon. Zusammengesetzter Poissonprozess. (Seiten 206-212)
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Abgabe Blatt 12
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| Woche 14 |
| 31. Januar |
Par. 20: Punktprozesse auf Teilmengen von R^d.
Intensitaet davon, Poisson-Punkt-Prozesse (PPP), Konstruktion von PPP
mittels einer poissonverteilten Anzahl von iid ZVn. Superposition und
Ausduennen von PPP
(Seiten 213-220)
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| 2. Februar |
Charakterisierung von PPP als vollstaendig zufaellige, einfache, atomlose Punktprozesse.
(Seiten 221-228) |
Abgabe Blatt 13
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| Woche 15 |
| 7. Februar |
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Besprechung der Altklausuren |
| 9. Februar |
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Klausur
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