Fachbereich Mathematik
   

Seminar: Funktionentheorie -- Riemannsche Flächen, WS 26/27


Im Seminar soll die Funktionentheorie aus der Vorlesung Analysis IV auf Riemannsche Flächen erweitert werden. Zuerst wird Analysis auf Mannigfaltigkeiten durch Kartenwechsel und Atlanten formalisiert. Grundlegende Begriffe wie Metrik, Krümmung und Bogenlänge werden behandelt. Daran schliessen sich die Sätze von Gauss-Bonnet und Riemann-Hurwitz an, die das Krümmungsintegral bestimmen und Verzweigungspunkte von holomorphen Abbildungen zählen. Schliesslich werden hyperbolische Metriken betrachtet und damit der Satz von Picard bewiesen, der eine erhebliche Verschärfung der Sätze von Liouville und Weierstrass-Casorati ist.

Im zweiten Teil geben wir durch Lösen des Poisson-Problems einen Beweis des Uniformisierungssatzes, der die einfach zusammenhängenden Riemannschen Flächen als die komplexe Sphäre, Ebene oder Ball charakterisiert.

Das Seminar richtet sich an Studenten (Bachelor oder Lehramt) im 5.Semester. An Vorkenntnissen sind die Vorlesungen Analysis I, II, IV und Lineare Algebra I erforderlich.

  1. [Ah] Ahlfors, L.V.: Complex Analysis,
    McGraw-Hill, New York, 1979.
  2. [FaKr] Farkas, H.M., Kra, I.: Riemann Surfaces,
    Springer Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 1992.
  3. [Jo] Jost, J.: Compact Riemann surfaces,
    Springer Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 2006.
  4. [Ru] Rudin, W.T.: Real and Complex Analysis,
    McGraw-Hill, New York, 1966.
  5. [Sch] Schätzle, R.: Riemannsche Flächen,
    Vorlesungsskript Universität Tübingen, 2022. (pdf-file)

Dozenten: Professor Dr. Reiner Schätzle, C 5 A 40
Dr. Nicolai Jork, C 5 A 35
Termin: Di 14-16 (c.t.), S8
Vorbesprechung: Di 07.Juli, 16-17 (c.t.), S10
Interessenten melden sich bei Dr. Nicolai Jork.

20.10 Mona Salen Metriken und Krümmung auf Riemannschen Flächen,
[Sch] Abschnitt 3 - 4, S. 13-20, 27-31.
27.10 Mari-Pilar Auch Definition und einfache Eigenschaften von Riemannschen Flächen,
[Sch] Abschnitt 1 - 2, S. 1-5, 8-12.
03.11 Tamara Beck Der Satz von Gauss-Bonnet, [Sch] Abschnitt 4, S. 32-38.
10.11 Singer Der Satz von Riemann-Hurwitz, [Sch] Abschnitt 4, S. 38-42.
17.11 Sarah Banderitsch Die Kobayashi Metrik, [Sch] Abschnitt 5, S. 43-50.
24.11 Lukas Ertl Die Sätze von Picard und Montel, [Sch] Abschnitt 6, S. 51-55.
01.12 Tobias Jäger Das Poisson-Problem, [Sch] Abschnitt 7, S. 56-62.
08.12 Julian Mika Theissler Existenz einer beschränkten harmonischen Fortsetzung, [Sch] Abschnitt 7, S. 62-66.
15.12 Maximilian Klein Existenz einer Greenschen Funktioen, [Sch] Abschnitt 7, S. 70-78.
22.12 Tom Kreibich Überlagerungsprojektionen, [Sch] Anhang B, S. 96-106.
12.01 Karoline Reidenbach Der Monodromiesatz, [Sch] Abschnitt 8, S. 78-79, Abschnitt 2, S. 6-7.
19.01 Finn Lasse Pfaller Der Uniformisierungssatz, [Sch] Abschnitt 8, S. 80-84.
26.01 Julius Strobel Universelle Überlagerungen, [Sch] Abschnitt 10, S. 85-91.
02.02 Jannis Knackmuss Die Gruppe der gebrochen linearen Abbildungen, [Sch] Anhang C, S. 107-113.
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Reiner Schätzle, Universität Tübingen. (e-mail: schaetz at mail.mathematik.uni-tuebingen.de)