Fachbereich Mathematik
 

Vorlesung: Einführung in Partielle Differentialgleichungen, WS 26/27


Partielle Differentialgleichungen nehmen eine zentrale Stellung in der Analysis ein. Sie treten zum einen in der Physik und technischen Anwendungen auf, z.B. die Maxwellschen Gleichungen und die Wärmeleitungsgleichung, aber auch in der Differentialgeometrie, so ist z.B. die mittlere Krümmung ein quasi-linearer, elliptischer Operator zweiter Ordnung bzw. die Gaußkrümmung ein voll nicht-linearer, elliptischer Operator. Existenztheorie von Lösungen und qualitative Untersuchungen von Lösungen sind von grosser Bedeutung bei physikalischen und technischen Anwendungen. Andererseits ergeben sich mit der Theorie partieller Differentialgleichungen analytische Abschätzungen, die zum Beweis rein geometrischer Resultate benötigt werden.

Die Vorlesung behandelt in erster Linie elliptische Gleichungen zweiter Ordnung. Zuerst sollen elementare Eigenschaften wie Mittelwertformel, Maximumprinzip und Darstellung der Lösungen durch die Greensche Funktion erörtert werden. Danach werden die benötigten Hilfsmittel aus der Funktionalanalysis erarbeitet. Insbesondere wird eine Einführung in Sobolevräume gegeben, um eine Vielfalt an Lösungsräumen zu erhalten.

Den Hauptteil bilden die verschiedenen Apriori-Abschätzungen, wie L2-Theorie und Schauder-Abschätzungen, mit denen die linearen Gleichungen gelöst werden.

Die Vorlesung richtet sich an Studenten ab dem 4.Semester. An Vorkenntnissen sind die Vorlesungen Analysis I - III und Lineare Algebra I erforderlich.

  1. Evans, L.C.: Partial differential equations,
    Providence : American Math. Society, Graduate studies in mathematics 19, 1998.
  2. Gilbarg, D., Trudinger, N.S.: Elliptic Partial Differential Equations of Second Order,
    Springer Verlag, 3.Auflage, Berlin - Heidelberg - New York - Tokyo, 1998.
  3. Ladyzenskaja, O.A., Uralceva, N.N.: Linear and Quasilinear Elliptic Equations,
    Academic Press, New York and London, 1968.
  4. Simon, L.: Schauder estimates by scaling,
    Calculus of Variations and Partial Differential Equations, 5, (1997), No. 5, pp. 391--407.

Dozenten: Professor Dr. Reiner Schätzle, C 5 A 40
Dr. Nicolai Jork, C 5 A 32
Vorlesung: Di, Do 10-12 (c.t.), N14
Beginn: 13.Oktober
Übungsgruppen: Mo 16-18 (c.t.) Noah Migoski, S06 oder S11,
Mi 16-18 (c.t.), Dr. Nicolai Jork, C 9 G 09, Beginn: 21.Oktober
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Reiner Schätzle, Universität Tübingen. (e-mail: schaetz at everest.mathematik.uni-tuebingen.de)