Vorträge in der Woche 23.04.2007 bis 29.04.2007

Freitag, 27.04.2007: Die Baum-Connes Vermutung

Siegfried Echterhoff

Ein klassischer Satz von Gelfand-Neumark besagt, dass ein kompakter Hausdorff-Raum X durch die Algebra C(X) aller stetigen Funktionen auf X eindeutig festgelegt ist, und dass umgekehrt jede kommutative C -Algebra isomorph zu einer Algebra der Form C(X) ist. Dies liefert die Motivation eine nichtkommutative C -Algebra (dh. eine normabgeschlossene -Unteralgebra von Operatoren auf einem Hilbertraum) als nichtkommutativen topologischen Raum anzusehen. Von den klassischen (Co-)Homologietheorien aus der Topologie lässt sich insbesondere die K-Theorie auf besonders schöne Weise auf die Kategorie der nichtkommutativen Räume ausdehnen, und liefert ein wichtiges Werkzeug zur Untersuchung dieser Objekte. Die Baum-Connes Vermutung liefert (wenn wahr) eine hervorragende Möglichkeit die K-Theorie in vielen wichtigen Beispielen zu berechnen. Dies umfasst insbesondere C -Gruppenalgebren und verschränkte Produkte von C -dynamischen Systemen. Darüber hinaus impliziert die Vermutung einige andere wichtige Vermutungen aus der Topologie und der Differrentialgeometrie. In diesem Vortrag möchten wir die Baum-Connes Vermutung vorstellen und auf einige jüngere Entwicklungen eingehen.