Vorträge in der Woche 12.10.2015 bis 18.10.2015
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Donnerstag, 15.10.2015: Ricci-Krümmung, Entropie und Wärmeflüsse - ein Zugang zu Geometrie und Analysis mit Hilfe der Theorie des optimalen Transports
Dr. Martin Kell (Universität Tübingen)
Verallgemeinerte untere Ricci-Krümmungsschranken sind im Wesentlichen (verallgemeinerte) Konvexitätsannahmen an Entropiefunktionale im Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße, welcher mit einer Metrik ausgestattet wird, die mit Hilfe eines Transportproblems formuliert wird. Auf der anderen Seite gibt es die analytischen Krümmungsschranken von Bakry-Emery, welche lediglich eine Dirichlet-Form und deren L2-Gradientenfluss (linearer Wärmefluss) benötigen. Man kann zeigen, dass diese Bedingung äquivalent zur Lipschitz-Kontraktion der Gradienten einer Funktion entlang des Wärmeflusse ist. In diesem Vortrag werde ich beiden Zugänge vorstellen und verdeutlichen, warum sie auf glatten Mannigfaltigkeiten mit unteren Ricci-Krümmungsschranken gelten. Beide Zugänge benötigen a priori keine differenzierbare Struktur und können auch auf geodätischen metrischen Räumen formuliert werden. Es stellt sich jedoch heraus, dass auf riemannartigen metrischen Räumen beide Zugänge äquivalent sind. Dazu identifiziert man den Wärmefluss als Fluss im Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße mit dem Gradientenfluss der Entropie. Die Äquivalenz von Konvexität der Entropie und Lipschitz-Kontraktion der Dichten der Maße folgt nun aufgrund der Linearität des Wärmeflusses und der Kantorovich-Dualität, welche Gradient und die “Optimal Transport"-Metrik in Beziehung bringt. Am Ende werde ich noch offene Dinge präsentieren, speziell nicht-lineare Wärmeflüsse und deren Beziehung zu Ricci-Schranken. Konvexität der Entropie ergibt im nicht-linearen (u.a. nicht-riemannartigen) Fall keine automatische Kontraktion, weshalb neue Strategien entwickelt werden müssen.
| Uhrzeit: | 14:15 - 15:45 |
| Ort: | N08 (Hörsaalzentrum) |
| Gruppe: | Oberseminar Geometrische Analysis und Mathematische Relativitätstheorie |
| Einladender: | Cederbaum, Huisken, Nerz |
Freitag, 16.10.2015: Singularities of Lagrangian Mean Curvature Flow
Prof. Andrew Cooper (North Carolina State University)
Using the interplay between two kinds of singularity models, we describe the development of singularities of the mean curvature flow of Lagrangian submanifolds of complex Euclidean space. Mild ("type I") singularities of the flow can only occur at certain times determined by invariants in the cohomology of the initial data; all other singularities are modeled locally by unions of special Lagrangian cones. We will also discuss applications of these results to conjectures of Thomas-Yau and Joyce about special Lagrangian submanifolds of Calabi-Yau manifolds.
| Uhrzeit: | 14:15 |
| Ort: | N09 (Hörsaalzentrum)) |
| Gruppe: | Oberseminar Geometrische Analysis und Mathematische Relativitätstheorie |
| Einladender: | Cederbaum, Huisken, Nerz |