Elastische Kurven
Sommersemester 2018
Inhalt
Die Vorlesung behandelt die elastische Energie von Kurven und deren kritische Punkte, welche elastische Kurven genannt werden. Diese Energie ist definiert durch
\[\int |\kappa|^2(t)\, ds(t)\]
wobei \(\kappa\) die geodätische Krümmung und \(ds\) das Längenelement der Kurve ist. Zuerst wird die Euler-Lagrange Gleichung dieses Funktionals hergeleitet, welche daraufhin analysiert wird. Wir werden die Lösungen dieser Gleichung nach Langer/Singer klassifizieren sowie qualitative und quantitative Eigenschaften herleiten.
Danach wird ein Randwertproblem für elastische Kurven in der hyperbolischen Geometrie diskutiert und mithilfe der direkten Methode der Variationsrechnung gelöst. Die dabei bei einem geometrischen Funktional typisch auftretenden Hindernisse werden besprochen und im Beispiel überwunden.
Voraussetzungen
Analysis 1-4, Lineare Algebra 1-2, Differentialgeometrie, Einführung in die partiellen Differentialgleichungen.
Material
Das Skript finden Sie hier.
Ein kleine Bildersammlung finden Sie hier, sowie eine gif-Animation hier.
Eine kleine Formelsammlung für differentialgeometrische Größen finden Sie hier.
Literatur
- Filippo Gazzola, Hans-Christoph Grunau, Guido Sweers: Polyharmonic Boundary Value Problems, Springer 2010.
- David Gilbarg, Neil S. Trudinger: Elliptic partial differential equations of second order. Springer 1998.
- Joel Langer, David A. Singer: The total squared curvature of closed curves, J. Differential Geom. Band 20, Nummer 1, Seiten 1-22, 1984.
- John M. Lee: Introduction to smooth manifolds. Springer 2013.
- Michael Struwe: Variational Methods. Springer 2008.
Weitere Informationen
Dozent: Dr. Sascha Eichmann, Link
Zeit: Mittwoch, 12-14 Uhr, c.t.
Raum: S8
Beginn: 18. April 2018
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