Vorträge in der Woche 10.12.2007 bis 16.12.2007

Montag, 10.12.2007: Zylinder konstanter mittlerer Kruemmung in S3

Professor Dr. Martin U. Schmidt

Geschlossene Flächen konstanter mittelerer Krümmung in dreidimensionalen Raumformen unterliegen starken Einschränkungen. Alexandrov konnte zeigen, dass die einzigen geschlossenen eingebetteten Flächen konstanter mittlerer Krümmung im R3 und in einer dreidimensionalen Hemisphäre runde Sphären sind. Lawson hat dann für jedes Geschlecht eine minimale geschlossene Fläche in S3 konstruiert. Heute hat man verstanden, dass es sehr viele immersierte Flächen konstanter mittlerer Krümmung im R3 und in S3 auch sehr viele minimale gibt. Weil es aber so viele gibt, ist es schwierig zu entscheiden, welche davon eingebettet sind. Alexandrov hat seine Charakterisierung von eingebetteten Flächen auf sogenannte Alexandrov eingebettete Flächen verallgemeinert, also auf immersierte Flächen, die Rand einer immersierten dreidimensionalen Mannigfaltigkeit sind. Mit diesem Konzept können wir zeigen, dass alle Alexandrov eingebetteten Zylinder konstanter mittlerer Krümmung Rotationszylinder sind. Jeder eingebettete Torus konstanter mittlerer Krümmung ist eine Überlagerung über einem Alexandrov eingebetteten Zylinder, obwohl es eingebettete Zylinder in S3 gar nicht gibt. Deshalb folgt auch, dass alle eingebetteten Tori konstanter mittlerer Krümmung Rotationstori sind.