In Analysis III wurde die Masstheorie entwickelt,
um eine allgemeine Integrationstheorie zu erhalten.
Andererseits werden masstheoretische Methoden
auch zur Behandlung von geometrischen Problemen angewandt.
So können glatte Mannigfaltigkeiten
nach einem Grenzübergang Singularitäten aufweisen.
Die fehlende Kompaktheit führt zu Problemen
z.B. bei der Existenztheorie von Minimalflächen.
In der Vorlesung soll die Masstheorie aus Analysis III
weiterentwickelt werden.
Behandelt werden Überdeckungssätze, Hausdorff-Mass,
isoperimetrische und isodiametrische Ungleichung,
und punktweise Eigenschaften von
Funktionen, wie z.B. fast überall Differenzierbarkeit
von Sobolevfunktionen mit geeignetem Integrationsindex.
Diese Begriffe und Sätze sind
bei partiellen Differentialgleichungen, Variationsproblemen
und bei geometrsichen Problemen von großem Nutzen.
Die Beweise bestehen zumeist aus elementaren Argumenten,
die aber sehr trickreich angeordnet sind.
Die Vorlesung richtet sich an Studenten im 4.Semester oder höher.
An Vorkenntnissen sind die Vorlesungen Analysis I - III
erforderlich.
Evans, L.C., Gariepy, R.F.:
Measure Theory and Fine Properties of Functions,
CRC Press,
Boca Raton - Ann Arbor - London, 1992.
Federer, H.:
Geometric Measure Theory,
Springer Verlag, Die Grundlehren der mathematischen
Wissenschaften, Band 153,
Berlin - Heidelberg - New York, 1969.
Simon, L.:
Lectures on Geometric Measure Theory,
Proceedings of the Centre for Mathematical Analysis
Australian National University,
Volume 3, 1983.