Einführung in Gewöhnliche Differentialgleichungen

Herzlich willkommen zur Vorlesung "Einführung in die Gewöhnlichen Differentialgleichungen", die in diesem Semester erstmalig als 2-stündige Vorlesung mit einer 1-stündigen Übung stattfindet. Die Besprechung der Übungsaufgaben geschieht dabei im 2-wöchentlichen Rhythmus.

Gewöhnliche Differentialgleichungen stehen stehen historisch geradezu am Anfang der Entwicklung der Differential- und Integralrechnung. Versucht man so genannte Dynamische Systeme, also grob Vorgänge, die durch endlich viele reelle Parameter beschrieben werden können und die einen gewissen Determinismus aufweisen, in dem ihre Dynamik festliegt, wenn man sie zu einem einzigen Zeitpunkt kennt, stößt man darauf, dass solche Bewegungen durch (stetig differenzierbare) Funktionen x:I\to G beschrieben werden können, die eine "Gewöhnliche Differentialgleichung"

\dot(x)=f(x)

erfüllen, d.h., es gilt für alle t\in I (wo I\sub\R ein offenes Intervall ist): \dot(x)(t)=f(x(t)). Hierbei ist G\sub\R^n ein Gebiet und f:G\to\R^n ein (stetig differenzierbares) Vektorfeld auf G. In der Vorlesung werden wir etliche Beispiele, vor allem aus der Mechanik, kennenlernen. Bei der Vorgabe von f gilt es dann alle möglichen Lösungen (wie oben) der Differentialgleichungen zu bestimmen, d.h., das volle Dynamische System zu f zu verstehen. Dabei werden eine ganze Reihe von Hilfsmitteln eingesetzt, die Sie aus der Analysis I und II, aber auch aus der Linearen Algebra, kennen.

Newton und Leibniz sind auf diese Art von Gleichungen zur Beschreibung von Dynamischen Systemen gekommen und haben, sozusagen "nebenbei", vor allem die Differentialrechnung von reellen Funktionen in mehreren Veränderlichen entwickelt. 

Die Vorlesung gibt einen Überblick über die Existenz- und Eindeutigkeit von Lösungen (bei gegebenem Anfangswert), untersucht dann so genannte Lineare Systeme, um u.a. damit die differenzierbare Abhängigkeit vom Anfangswert der Lösung zu untersuchen und schließt mit einem Ausblick auf die so genannte Qualitative Theorie.

Die Inhalte sind Gegenstand einer längeren mündlichen Prüfung von Inhalten von insgesamt vier Vorlesungen, die üblicherweise nach dem 4. Semester stattfindet. Die Bedingungen für die Zulassung zu dieser Prüfung werden rechtzeitig bekannt gegeben.

Ich wünsche Ihnen aber jetzt viel Freude bei dieser Vorlesung und empfehle Ihnen, wie immer, die aktive Teilnahme am begleitenden Übungsbetrieb.