Maß- und Integrationstheorie

Herzlich willkommen zur Vorlesung "Maß- und Integrationstheorie", die in diesem Semester erstmalig als 2-stündige Vorlesung mit einer 1-stündigen Übung stattfindet. Die Besprechung der Übungsaufgaben geschieht dabei im 2-wöchentlichen Rhythmus.

Vordergründiges Ziel der Vorlesung ist zunächst eine Integralrechnung auch für reelle Funktionen in mehreren reellen Veränderlichen zu entwickeln. Dabei stellt man fest, dass es zunächst darauf ankommt, möglichst vielen Teilmengen des R^n einen geeigneten Volumenbegriff zuzuordnen, ähnlich wie im Falle von n=1 die Länge b-a eines Intervalls I=[a,b]. Dabei werden wir eine Maßtheorie aber allgemeiner nach Kolmogoroff axiomatisch entwickeln, das es ermöglichen wird, diese Maßtheorie, und die darauf aufbauende Integrationstheorie, auch in anderen Kontexten, etwa bei der Beschreibung von Wahrscheinlichkeitskonzepten, anzuwenden.

So geht es also anfangs recht mengentheoretisch um eine Maßtheorie und ihrer darauf aufbauenden Integrationstheorie und ihren richtungsweisenden so genannten Konvergenzsätzen. Ein wichtiger Satz wird dann durch den Satz von Fubini vorgestellt und bewiesen, der die Produktsituation von Maßräumen perfekt beschreibt und auch Möglichkeiten der Berechnung, z.B. von Volumina im R^n, geben wird. Den Abschluss bildet schließlich aller Voraussicht nach die berühmte Transformationsformel für Mehrfachintegrale, die die Substítutionsregel für Funktionen in einer Veränderlichen verallgemeinert. Die Vorlesung wird aller Voraussicht nach im kommenden Sommersemester mit einer ebenfalls 2-stündigen Vorlesung über "Integration über Untermannigfaltigkeiten des R^n" fortgesetzt, in dem dann auch Maßbegriffe von gekrümmtem Objekten (z.B. Kurven  und Flächen im Raum) thematisiert werden.

Die Inhalte der Vorlesung sind Gegenstand einer längeren mündlichen Prüfung von Inhalten von insgesamt vier Vorlesungen, die üblicherweise nach dem 4. Semester stattfindet. Die Bedingungen für die Zulassung zu dieser Prüfung werden rechtzeitig bekannt gegeben.

Ich wünsche Ihnen aber jetzt viel Freude bei dieser Vorlesung und empfehle Ihnen, wie immer, die aktive Teilnahme am begleitenden Übungsbetrieb.