Wintersemester 2017/18

Vortragsreihe - Ricci flow in higher dimensions

Dozent: Prof. Dr. Simon Brendle

Beschreibung

Hamilton's Ricci flow is one of the most important geometric evolution equations.
In these lectures, I will focus on the problem of singularity formation in higher dimensions. In particular, I will discuss under what conditions the flow converges to a round metric after rescaling, and under what conditions the flow will form singularities of neck-pinch type. This requires new pinching estimates for the curvature ODE in higher dimensions.

Der Minimalflächenoperator

Dozent: Prof. Dr. Gerhard Huisken
Beginn: Freitag, den 20. Oktober 2017
Ort: Hörsaal N08
Zeit: Freitags, 10 Uhr c.t. bis 12 Uhr

Beschreibung

Die Vorlesung untersucht zunächst Randwertprobleme für den Minimalflächenoperator, insbesondere Minimalflächen und Flächen vorgeschriebener mittlerer Krümmung, im Kontext quasilinearer elliptischer partieller Differentialgleichungen. Danach wenden wir diese Techniken an, um zunächst translatierende Lösungen geometrischer Evolutionsgleichungen zu konstruieren. Hiermit können dann schliesslich allgemeine schwache Lösungen des Flusses von Hyperflächen entlang der mittleren und entlang der inversen mittleren Krümmung konstruiert werden.

Voraussetzungen

Grundlagen in partiellen Differentialgleichungen und Differentialgeometrie im Umfang von je einer Vorlesung.

Literatur

• D. Gilbarg; N.S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer-Verlag, 3rd ed 1998.
  L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998.
• K. Ecker, Regularity theory of mean curvature flows, Birkhäuser Verlag Basel, 2004.
• S. Brendle, Ricci Flow and the Sphere Theorem (Graduate Studies in Mathematics), American Mathematical Society, 2010.
• G. Lieberman, Second order parabolic differential equations, World Scientific, 1996.
  D. Kinderlehrer; G. Stampacchia, An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, SIAM, 2000.

Modulhandbuch

Modulcode: MAT - 60 - 15 (Masterstudenten)
Prüfungsgebiet: Reine Mathematik

Studien- und Prüfungsleistungen

Je nach Größe der Veranstaltung gibt es eine Klausur oder mündliche Prüfung.

Eindimensionale Variationsrechnung

Dozentinnen: JProf. Dr. Carla Cederbaum, Sophia Jahns
Zeit: 7.-8. Oktober und 21.-22. Oktober 2017, ganztags

Beschreibung

In der eindimensionalen Variationsrechnung werden Ideen aus der Analysis 1 mithilfer von Techniken aus der Analysis 2 sowie der Linearen Algebra auf sogenannte Funktionale übertragen. Funktionale sind (in diesem Seminar) Funktionen von einem reellen Funktionenraum in die reellen Zahlen. Ein wichtiges Beispiel ist das Längenfunktional, das jeder differenzierbaren Kurve (etwa in R^n) oder auf einer Fläche) ihre Länge zuordnet. Hier mann man mithilfe der Variationsrechnung die Frage beantworten, was die kürzeste Verbindung zwischen zwei gegebenen Punkten ist.

Weitere klassische Probleme und Sätze, die wir im Seminar kennenlernen werden, sind:

• das isoperimetrische Problem, also die Frage danach, wie eine Kurve vorgegebener Länge verlaufen muss, um ein Gebiet mit moeglichst grossem Flächeninhalt einzuschliessen.
• das Fermatsche Prinzip, das den Weg von Licht in einem Medium beschreibt,
• die Frage nach der Oberfläche von Rotationsflächen mit minimalen Flächeninhalt
• sowie weitere geometrische und physikalische Probleme.

Wir werden im Seminar von diesen konkreten Problemstellungen ausgehen und uns die zu ihrer Lösung nötigen Techniken aus der Variationsrechnung und der Funktionalanalysis erarbeiten.

Voraussetzungen

Lineare Algebra 1+2, Analysis 1+2 und Grundlagen der (eindimensionalen) Lebesgue-Integration (aus Analysis 3 oder Stochastik 1, diese Grundlagen der Lebesgue-Integration können aber auch im Vorfeld im Selbststudium erarbeitet werden).

Literatur

• Buttazo, G.; Giaquinta, M.; und Hildebrandt, S; One-dimensional Variational Problems, Oxford University Press, 1998
• Weinstock, R.; Calculus of Variations. With applications to physics and engineering, Dover Publications, 1952