Wintersemester 2018-19

Vortragsreihe - Singularities of geometric flows

Dozent: Prof. Dr. Simon Brendle

Beschreibung / Description

I will discuss the formation of singularities under the mean curvature and Ricci flow. We know from work Perelman that singularities are often modeled on ancient solutions. These are solutions that have a backhistory going back infinitely far in time; as such, they are analogous to entire solutions of elliptic PDEs. It is a central problem to classify these ancient solutions. I will discuss recent uniqueness theorems for ancient solutions.

Geometrische Evolutionsgleichungen / Geometric Evolution Equations

Dozent: Prof. Dr. Gerhard Huisken
Beginn: Freitag, den 26. Oktober 2018
Ort: Hörsaal N15 / M2
Zeit: Freitags, 10 Uhr c.t. bis 12 Uhr

Beschreibung / Description

The course describes central techniques for the analysis of solutions to geometric evolution equations such as mean curvature flow and Gauss curvature flow of hyper surfaces or Ricci flow of Riemannian metrics. Topics covered include the maximum principle for tensorial parabolic equations, smoothing properties, estimates based on monotonicity formulae and rescaling techniques leading to pseudo-locality results and the classification of singularities. The course will touch on recent developments in the field that are suitable for projects of a master thesis.

Die Vorlesung behandelt zentrale Techniken für die Untersuchung von Lösungen geometrischer Evolutionsgleichungen wie den Fluss von Hyperflächen entlang der mittleren Krümmung und entlang der Gauss-Krümmung oder des Ricci-Flusses von Riemannschen Metriken. Zu den behandelten Themen gehören Maximum-Prinzipien für tensorielle Systeme parabolischer Gleichungen, Glättungseigenschaften der Flüsse, Monotonieformeln und Reskalierungstechniken, mit denen Pseudo-Lokalitätseigenschaften und Klassifizierung von Singularitäten bewiesen werden können. Die Vorlesung führt zu einigen neueren Ergebnissen des Forschungsgebiet und eignet sich als Grundlage für eine Masterarbeit.

Voraussetzungen / Prerequisites

One course in differential geometry and one course in partial differential equations

Je eine Vorlesung über Partielle Differentialgleichungen und Differentialgeometrie

Literatur

• Klaus Ecker, Regularity theory of mean curvature flows, Birkhäuser Verlag Basel, 2004.
• Simon Brendle, Ricci Flow and the Sphere Theorem (Graduate Studies in Mathematics), American Mathematical Society, 2010.
• Leon Simon, Theorems on the Regularity and Singularity of Minimal Surfaces and Harmonic Maps (S.~115--150) in Lecture Notes on Geometric Variational Problems, S.~Nishikawa and R.~Schoen, Springer Tokyo (1996)

Modulhandbuch

Prüfungsgebiet: Reine Mathematik

Studien- und Prüfungsleistungen / Type of exam

Written or oral exam depending on course size.

Je nach Größe der Veranstaltung gibt es eine Klausur oder mündliche Prüfung.

Harmonische Abbildungen / Harmonic Maps

Dozent: Prof. Dr. Gerhard Huisken
Beginn: Donnerstag, den 18. Oktober 2018
Ort: Seminarraum S10
Zeit: Donnerstag, 10 Uhr c.t. bis 12 Uhr

Beschreibung / Description

The seminar will explore the basic theory of harmonic mappings between Riemannian manifolds. Topics start with the Dirichlet energy of a mapping between Riemannian manifolds and the corresponding Euler-Lagrange equation and then lead to the regularity properties of solutions to this system of partial differential equations. Further topics are weak solutions, the Heat flow corresponding to harmonic maps and applications of harmonic maps in the Description of black holes in General Relativity.

Das Seminar untersucht grundlegende Eigenschaften harmonischer Abbildungen zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Thema betreffen die Dirichlet-Energie von Abbildungen und die zugehörigen Euler-Lagrange Gleichungen sowie die Regularitätstheorie für Lösungen dieses Systems elliptischer Gleichungen. Weitere Themen betreffen den zugehörigen Wärmefluss und schliesslich Anwendungen harmonischer Abbildungen bei der Beschreibung schwarzer Löcher in der allgemeinen Relativitätstheorie.

Voraussetzungen / Prerequisites

One course in differential geometry and one course in partial differential equations

Je eine Vorlesung über Partielle Differentialgleichungen und Differentialgeometrie

Literatur

• Jürgen Jost, Harmonic Maps between surfaces, Springer
• Richard Schoen and Shing-Tung Yau, Harmonic Maps, International Press

Modulhandbuch

Prüfungsgebiet: Reine Mathematik

Studien- und Prüfungsleistungen / Type of exam

Written or oral exam depending on course size, evaluation of seminar presentation.

Je nach Größe der Veranstaltung gibt es eine Klausur oder mündliche Prüfung, Auswertung des Seminarvortrags.

Elementare Differentialgeometrie zum Anfassen

Dozentinnen: Prof. Dr. Carla Cederbaum (Tenure Track), Lisa Hilken
Beginn: Montag, 08.10.2018 bzw. Dienstag, 16.10.2018
Ort: 8D09 im Hörsaalzentrum
Zeit: Montag, 08.10.2018 ganztags und jeden zweiten Dienstag, 14 Uhr c. t. bis 16 oder 18 Uhr (abwechselnd)

Beschreibung

Was haben Slalom fahren, Bananen und Seifenblasen mit Mathematik zu tun?

Einiges! Was genau werden wir im Seminar „Elementare Differentialgeometrie zum Anfassen“ herausfinden.Dazu beschäftigen wir uns mit Kurven und Flächen und überlegen uns, was „Krümmung“ eigentlich ist.

Wir werden uns der Thematik auf experimentelle Weise nähern und die zugehörige Mathematik mithilfe unserer Erfahrungen und Beobachtungen entwickeln. Am Ende werden wir mathematisch saubere Definitionenund Sätze hergeleitet haben.

Vorraussetzungen

Lineare Algebra 1+2 und Analysis 1+2

Literatur

• Abbott, Edwin A., Flatland, Oxford University Press
• Henderson, David W., Differential Geometry, online
• do Carmo, Manfredo P., Differentialgeometrie von Kurven und Flächen, Vieweg+Teubner
• Bär, Christian, Elementare Differentialgeometrie, De Gruyter

Bemerkungen

Das Seminar richtet sich an Lehramtsstudierende.

Geometry of Initial Data Sets

Dozent: Dr. Armando Cabrera Pacheco
Beginn: Mittwoch, den 17. Oktober 2018
Zeit und Ort: Mittwochs, 12 Uhr c.t. bis 14 Uhr in C9A03; Montags, 16 Uhr c.t. bis 18 Uhr in Seminarraum S11 (Übung)

Beschreibung / Description

The main goal of this course is to gain a working understanding of some classic and current research topics in mathematical relativity.

We will be mainly interested in studying the geometry of initial data sets for the Einstein Equations, i.e., spacelike slices of spacetimes satisfying certain physical assumptions. Mathematically, they correspond to Riemannian manifolds with geometric constraints.

The course will start with a careful review the geometric constraints to be imposed on an initial data set and the concept of total mass. Then we will study the main ideas behind the proofs of the positive mass theorem and the Riemannian Penrose inequality. After this, some selected topics about graphical initial data sets, quasi-local mass notions, and explicit initial data set construction will be covered.

Voraussetzungen / Prerequisites

Geometry in Physics and Mathematical Relativity or some other course containing some submanifolds theory.

Literature

• Cabrera Pacheco, A. J., Cederbaum, C., McCormick, S., and Miao, P., Asymptotically flat exten- sions of CMC Bartnik data, Class. Quantum Grav. 34, 2017.
• Huisken, G. and Ilmanen, T., The inverse mean curvature flow and the Riemannian Penrose inequality, J. Differential Geom. 59, 2001.
• Lam, M.-K. G., The graphs cases of the Riemannian positive mass and Penrose inequalities in all dimensions, arXiv:1010.4256, 2010.
• Lee, J. M., Riemannian manifolds: An introduction to curvature, Graduate Texts in Mathematics 176, Springer-Verlag New York, 1997.
• Mantoulidis, C., and Schoen, R., On the Bartnik mass of outer apparent horizons, Class. Quantum Grav. 20, 2015.
• Schoen, R., Yau, S.-T., On the proof of the positive mass conjecture in general relativity, Comm. Math. Phys. 65, 1979.

* This is not an extensive list. We will only cover parts of these references and they are not intended to be covered prior to the class.

Studien- und Prüfungsleistungen / Type of exam

Each student will be asked to explain solutions to relevant homework exercises during the exercise sessions (these will be timely assigned). To be admitted to the exam (written or oral depending on the size of the class), you will need to have presented at least three exercises at a satisfactory level.