Fachbereich Mathematik

SoSe 2015

Allgemeine Relativitätstheorie

Dozenten: Prof. Dr. Gerhard Huisken, Dr. Carla Cederbaum
Zeit: Mittwoch, 16 Uhr c.t. bis 18 Uhr
 

       Freitag, 10 Uhr c.t. bis 11:45 Uhr
Ort: Hörsaal N16 (M3)

Beschreibung

Nach einer Einführung in die spezielle Relativitätstheorie und die ihr zugrunde liegende Geometrie der Minkowski-Raumzeit werden wir uns mit allgemeinen Lorentz-Mannigfaltigkeiten und den Einstein-Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie befassen. Ein Teil der Vorlesung (Cederbaum, Mittwochs) wird sich auf statische (unbewegte) Lösungen der Einstein-Gleichungen konzentrieren. Diese haben eine besonders einfache geometrische Struktur und eignen sich für einen ersten Kontakt mit geometrischen, analytischen und physikalischen Fragen über Raumzeiten und isolierte Systeme. Der andere Teil der Vorlesung (Huisken, Freitags) wird untersuchen, mit welchen geometrischen und analytischen Strukturen man in allgemeineren Raumzeiten, die entweder bei kosmologischen Modellen oder bei der Beschreibung von isolierten Phänomenen wie Sternen, schwarzen Löchern oder von Gravitationswellen auftreten, klassische  physikalische Konzepte innerhalb der Allgemeinen Relativitätstheorie beschreiben kann.

Voraussetzungen

  • Analysis 1-3
  • Lineare Algebra 1-2
  • Differentialgeometrie
  • optional, aber hilfreich: Elliptische Differentialgleichungen

Literatur (Beispiele)

  • R. M. Wald, General Relativity, The University of Chicago Press (1984)
  • H. Fischer und H. Kaul, Mathematik für Physiker, Band 3, Springer Spektrum, 3.~Auflage (2013)
  • B. O'Neill, Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity, Academic Press, Mathematics 103
  • S. W. Hawking and G. F. R. Ellis, The large scale structure of space-time, Cambridge Monographs on Mathematical Physics (1973)
  • S. Axler, P. Bourdon and W. Ramey, Harmonic Function Theory, Springer, New York, Graduate Texts in Mathematics (1992)
  • C. Cederbaum, The Newtonian Limit of Geometrostatics, FU Berlin (2012)

Modulhandbuch

Modulcode: 2315
ECTS Punkte: 10
Prüfungsgebiet: Reine und Angewandte Mathematik

Studien- und Prüfungsleistungen

Übungsschein als Prüfungsvoraussetzung, Prüfungsleistung je nach Teilnehmerzahl schriftlich oder mündlich.

Übungsgruppen und Übungen

Sophia Jahns, Dienstag, 16-18 Uhr, S9. Sprechstunde nach Vereinbarung. E-Mail senden

Übungsblätter sind im ILIAS zu finden.


Analysis auf Vektorbündeln

Dozent: Dr. Christopher Nerz
Zeit: Mittwoch, 14:15-16:00
Raum: Hörsaal N8

Beschreibung

Die Vorlesung richtet sich an Hörer der Differentialgeometrie des WiSe 2014/15 oder einer äquivalenten Vorlesung und gibt eine Einführung in die Vektorbündel- und Hodge-Theorie. Insbesondere sollen behandelt werden:

  • Vektorbündel: Einführung, Kovariante Ableitung, Holonomie, Paralleltransport, Riemann-Krümmung, äußere Ableitung
  • Hodge-Theorie: Einführung, Poincaré-Dualität

Motivation: Aus der Differentialgeometrie Vorlesung ist bekannt, dass für jeden Punkt pM

einer glatten Mannigfaltigkeit M der Tangentialraum TpM existiert. Dieser ist ein Vektorraum, der "glatt vom Punkt pM" abhängt. Das Tangentialbündel TM ist nun die Menge all dieser Tangentialräume, d.h. TM:=p˙TpM. Wir können dieses als eine "Zuordnung" verstehen, die jedem Punkt p der Mannigfaltigkeit M den Vektorraum TpM zuordnet. Man kann nun zeigen, dass dieses Bündel mit einer kanonischen Mannigfaltigkeitsstruktur versehen werden kann, selbst also eine Mannigfaltigkeit ist. Bezüglich dieser Mannigfaltigkeitsstruktur stellt sich die Abbildung π:TMM als glatt heraus, wobei π durch π1(p)=TpM charakterisiert ist -- dies erklärt die oben erwähnte "glatte Abhängigkeit" des Vektorraums TpM vom Punkt pM

.

Analog können wir andere Bündel EM

konstruieren, d.h. Mannigfaltigkeiten, die in vergleichbarer Weise als "Zuordnungen" verstanden werden können, die jedem Punkt pM der zugrunde liegenden Mannigfaltigkeit M in glatter Weise einen Vektorraum EpE zuordnet, wobei E gerade die Vereinigung dieser Vektorräume ist, d.h. E=p˙Ep

. Wir werden sehen, dass wir einige dieser Bündel bereits aus der Differentialgeometrie Vorlesungen kennen und bereits verwendet haben (Stichworte: Metrik, erste und zweite Fundamentalform, Krümmungstensor, ...).

Da diese Bündel wiederum Mannigfaltigkeiten sind, werden wir auch dort kovariante Ableitungen betrachten, wie wir es bereits auf Mannigfaltigkeiten gemacht haben (Stichwort Christoffelsymbole).

Voraussetzungen

  • Analysis 1-2
  • Lineare Algebra 1-2
  • Differentialgeometrie (oder eine andere einführende Veranstaltung zur Differentialgeometrie)

Hinweis

Es wird von den Studenten die Bereitschaft erwartet, sich während des Semesters weiteres, kleines Grundwissen selbst zu erarbeiten (Stichworte: Grundlagen der Topologie sowie Multilineare Abbildungen, Tensor-/Wedge-Produkt und ähnliche Konstruktionen der linearen Algebra) -- natürlich unter rechtzeitiger Angabe geeigneter Literatur.

Literatur (Beispiele)

  • John M. Lee, Introduction to smooth manifolds (insb. Kap. 5 und 11-12)
  • John M. Lee, Manifolds and Differential Geometry (insb. Kap. 6-8 und 10)
  • Christopher Nerz, Skriptum: Einführung in die Differentialgeometrie (insb. Kap. IV-V und VIII-X sowie Anh. B)

Modulhandbuch

Modulcode: 3255
ECTS Punkte:
4
Prüfungsgebiet:
Reine Mathematik

Studien- und Prüfungsgebiet

Es werden schriftliche Übungsaufgaben angeboten, deren Abgabe nicht Zulassungskriterium für die Prüfungsleistung sind, aber deren Bearbeitung dringend empfohlen wird. Am Semesterende wird eine (voraussichtlich mündliche) Prüfung stattfinden.


Oberseminar