Fachbereich Mathematik

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Differentialgeometrie

Dozent: Prof. Dr. Gerhard Huisken
Beginn: Donnerstag, 16. Oktober 2014
Zeit: Donnerstag und Freitag, je 10 Uhr c.t. bis 12 Uhr;
Ort: Hörsaal N14 (M1)
Ankündigung

Beschreibung

Die Vorlesung gibt eine Einführung in grundlegende Phänomene und Strukturen der Differentialgeometrie, insbesondere zu

  • Kurven: Krümmung, Torsion, Normalformen
  • Hyperflächen: Tangentialbündel, Erste und zweite Fundamentalform, mittlere Krümmung, Gauss-Krümmung, Minimalflächen, Fundamentalsatz der Flächentheorie, Gauss-Bonnet
  • Riemannschen Mannigfaltigkeiten: Geodäten, Normalkoordinaten, kovariante Ableitung, Zusammenhänge, Paralleltransport, Riemann- und Ricci-Krümmung.

Im Sommersemester 2015 werden sich voraussichtlich eine 4-stündige Vorlesung über "Mathematische Aspekte der Allgemeinen Relativitätstheorie" sowie eine 2-stündige Vorlesung über weitere Phänomene und Strukturen der Differentialgeometrie ("Analysis auf Vektorbündeln") anschließen.

Voraussetzungen

  • Analysis 1-2
  • Lineare Algebra 1-2

Literatur (Beispiele)

  • C. Bär, Elementare Differentialgeometrie, de Gruyter Lehrbuch.
  • M. do Carmo, Differentialgeometrie von Kurven und Flächen, Vieweg Studium
  • M. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser
  • M. Spivak, A comprehensive introduction to differential geometry, Vol. I-V, Publish or Perish.
  • S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine, Riemannian Geometry, Springer.

Modulhandbuch

Modulcode: 3215
ECTS Punkte: 10
Prüfungsgebiet: Reine Mathematik

Studien- und Prüfungsleistungen

Übungsschein als Prüfungsvoraussetzung, Prüfungsleistung schriftlich (90 Minuten), als Klausur am 13. Februar 2015, 10 Uhr c.t. bis 12 Uhr im N14 (M1).

Übungsgruppen und Übungen

  • Niklas Kulke, Dienstag 16-18 Uhr, S6
  • Christopher Nerz, Mittwoch 16-18 Uhr, D4A19

    Fixpunktsätze (Proseminar, Blockveranstaltung) 

    Dozentin: Dr. Carla Cederbaum
    Assistentin:     Sophia Jahns
    Zeit: 2.-5. März 2015 (Blockveranstaltung)
    Ort: Freudenstadt
    Vorbesprechung: 17. Juli 2014, 13:15 im N15 (M2). Ersatzweise per e-Mail an die Dozentinnen unter Angabe von Fachsemesteranzahl, Studiengang und bereits besuchten Veranstaltungen.
    Scheinkriterium: Vortrag (60-75 Minuten) mit vorheriger Absprache mit den Dozentinnen sowie ein Handout (1-2 Seiten, DinA4, LaTeX)
    Ankündigung

    Beschreibung

    Ein Fixpunkt p

    einer Abbildung f:X→X ist ein Punkt, der auf sich selbst abgebildet wird, also f(p)=p erfüllt. Entsprechend ist ein Fixpunktsatz ein Satz, der unter gewissen Voraussetzungen an die Abbildung f (und den Raum X

    ) die Existenz eines Fixpunktes garantiert.

    Im ersten Teil des Proseminars werden wir uns mit dem Banachschen Fixpunktsatz befassen. Als seine wichtigste Anwendung werden wir den Satz von Picard-Lindelöf kennenlernen, der eine Aussage über die Existenz von Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen macht.

    Der zweite Teil des Proseminars beschäftigt sich mit dem Brouwerschen Fixpunktsatz, für den wir zwei unterschiedliche Beweise kennenlernen werden.

    Die Vorträge werden durch eine praktische Übung ergänzt.

    Voraussetzungen

    • Lineare Algebra 1 und 2
    • Analysis 1

    Unterlagen zum Proseminar

    • Literatur und Vortragseinteilung [pdf]
    • Illustration des Banachschen Fixpunktsatzes anhand von Landkarten [pdf]
    • Anleitung zur Vorbereitung [pdf,tex]
    • Feedbackbogen [pdf,tex]

    Oberseminar